[dario_oasis]

Hola me ayudan con este ejercicio si lo resolví bien?

\( f(x)=x^2+\displaystyle\frac{2}{x} \)

Av= 0

Ah= No tiene

Pc:

\( f'(x)=\displaystyle\frac{2x^3-2}{x^2} \)

\( x=1 \)

\( (-\infty,0) \)

\( f'(-2)<0 \)

decrece

\( (0,1) \) \( (1,+\infty) \)***

\( f'(1/2)<0 \)     

\( (1,+\infty) \)       
   
 \( f'(2)>0 \)    crece
             
          Mínimo***


Punto inflexión:

\( f''(x)=\displaystyle\frac{2x^3+4}{x^3} \)

\( (-\infty,0) \)

\( f'(-2)<0 \)

Convexa

\( (0,\sqrt[3 ]{-2}) \)

\( f'(-1)<0  \)    

Convexa
 
 \( (\sqrt[3 ]{-2},+\infty) \)       
   
 \( f'(2)>0 \)    crece
     
Cóncava

[Ignacio Larrosa]

\( f(x)=x^2+\displaystyle\frac{2}{x} \)
Av= 0

Es una cuestión formal, pero la asíntota vertical es la recta \( x = 0 \).

Ah= No tiene
Pc:

¿Que es Pc? ¿Puntos de corte? No lo hallas, solo hay uno con el eje \( Ox \), en \( x = \sqrt[3]{-2} = - \sqrt[3]{2} \)

\( f´(x)=\displaystyle\frac{2x^3-2}{x^2} \)
x=1
\( (-\infty,0) \)
f`(-2)<0
decrece
\( (0,1) \) \( (1,+\infty) \)***
f`(1/2)<0     

decrece

\( (1,+\infty) \)       
f´(2)>0    crece
Mínimo***

En el que f(1) = 3

Punto inflexión:
\( f´´(x)=\displaystyle\frac{2x^3+4}{x^3} \)
\( (-\infty,0) \)
f`(-2)<0
Convexa
\( (0,\sqrt[3 ]{-2}) \)
f`(-1)<0     
Convexa
\( (\sqrt[3 ]{-2},+\infty) \)       
 f´(2)>0    crece
Concava

\( \sqrt[3 ]{-2} = - \sqrt[3]{2} < 0 \)

Entonces es convexa en \( (-\infty, -\sqrt[3 ]{2})\textrm{ y }(0, \infty) \), y cóncava en \( (-\sqrt[3 ]{2},0) \).

Tiene entonces un punto de inflexión en el punto \( (-\sqrt[3 ]{2}, 0) \).

Observa que en la gráfica no son iguales las escalas de los ejes, para destacar el punto de inflexión:

Spoiler

[cerrar]

Saludos,

[sugata]

Creo que Pc son puntos críticos, de ahí que empiece a derivar.

[dario_oasis]

Correcto con lo que dice Sugata, Pc es puntos críticos, para saber máximos y mínimos, ahora que quisiste decir con esto?

Sacado textual:
"Observa que en la gráfica no son iguales las escalas de los ejes, para destacar el punto de inflexión:"


Y esto tampoco entendí ya que no concuerda con los valores que tome yo para hacer el crecimiento y decrecimiento que son (-2, 1/2
 Y 2) respectivamente:

Sacado textual:
"En el que f(1) = 3"

[manooooh]

Hola, Ignacio está durmiendo, así que te responde manooooh:

que quisiste decir con esto?

Sacado textual:
"Observa que en la gráfica no son iguales las escalas de los ejes, para destacar el punto de inflexión:"

Si observás la gráfica vas a ver que la escala del eje \( x \) es \( 1:1 \) (por cada punto hay una distancia de una unidad), y el eje \( y \) tiene escala \( 1:2 \) (por cada punto hay una distancia de dos unidades). Esto lo hizo así para que veas mejor los puntos críticos, pero vos podés usar la escala \( 1:1 \) para el eje \( y \) si querés.

Y esto tampoco entendí ya que no concuerda con los valores que tome yo para hacer el crecimiento y decrecimiento que son (-2, 1/2
 Y 2) respectivamente:

Sacado textual:
"En el que f(1) = 3"

Lo único que te dice Ignacio es que en el punto \( (1,3) \) hay un mínimo (local).

Saludos