[dario_oasis]

\(  \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{k=0 \\  }}\displaystyle\frac{5n^3+2n}{2n^5-6n^2} \)

\(  \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{k=0 \\  }}\displaystyle\frac{5^n}{n!} \)


\(  \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{k=0 \\  }}(-\displaystyle\frac{3}{7})^n \)


Enunciar los criterios utilizados...

Les agradecere si también tienen muchos ejercicios como estos de estudiar el criterio, ya que es un tema que me cuesta mucho o si saben alguna página que tengan muchos ejercicios resueltos de este tipo se los agradeceré!!

[Fernando Revilla]

\(  \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{k=0 \\  }}\displaystyle\frac{5n^3+2n}{2n^5-6n^2} \)      \(  \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{k=0 \\  }}\displaystyle\frac{5^n}{n!} \)      \(  \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{k=0 \\  }}(-\displaystyle\frac{3}{7})^n
[/quote]

Para la primera aplica el criterio de comparación por cociente. Mira el apartado 2 [url=http://fernandorevilla.es/blog/2014/06/03/series-de-terminos-positivos/]aquí[/url].
Para la segunda usa el criterio del cociente. Mira el apartado 3 [url=http://fernandorevilla.es/blog/2014/06/05/criterios-de-la-raiz-cociente-y-raabe/]aquí[/url].
La tercera es serie geométrica con razón en módulo menor que [tex]1 \), luego es convergente. Mira Serie geométrica.

[dario_oasis]

Muchas gracias Fernando!!Me decís si los hice bien?

\( \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{k=0 \\  }}\displaystyle\frac{5^n}{n!} \)

Criterio del cociente:
\( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{}\displaystyle\frac{5^{n+1}}{(n+1)!} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\displaystyle\frac{5}{n+1}=0 \)

S=0<1 la serie converge absolutamente

Criterio paso al limite:
\( \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{k=0 \\  }}\displaystyle\frac{5n^3+2n}{2n^5-6n^2} \)


\( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5n^3+2n}{2n^5-6}}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{}\displaystyle\frac{5n^5+2n^3}{2n^5-6}=\displaystyle\frac{5}{2} \)

S>0 entonces ambas series convergen pues \( \displaystyle\frac{1}{n^2} \) converge

SERIE GEOMETRICA (no me quedo bien claro este ejercicio no se puede hacer por Cauchy?

\( \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{k=0 \\  }}-(\displaystyle\frac{3}{7})^n \)




PD:Si tienes mas ejercicios resueltos  de comparación, Cauchy, paso al límite, del cociente, series alternadas, y de la raíz te lo agradeceré!!Necesito practicar mucho y perdí las hojas de ese tema!!

[Fernando Revilla]

\( \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{k=0 \\  }}\displaystyle\frac{5^n}{n!} \) Criterio del cociente: \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{}\displaystyle\frac{5^{n+1}}{(n+1)!} \) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\displaystyle\frac{5}{n+1}=0 \) S=0<1 la serie converge absolutamente

Bien (salvo la errata \( x \)) y supongo que llamas \( S \) al límite del criterio del cociente, no a la suma.

Criterio paso al limite: \( \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{k=0 \\  }}\displaystyle\frac{5n^3+2n}{2n^5-6n^2} \) \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5n^3+2n}{2n^5-6}}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{}\displaystyle\frac{5n^5+2n^3}{2n^5-6}=\displaystyle\frac{5}{2} \) S>0 entonces ambas series convergen pues \( \displaystyle\frac{1}{n^2} \) converge

Bien (salvo la errata \( x \)) y debes decir no sólo que el límite es \( >0 \) sino que además es finito.

SERIE GEOMETRICA (no me quedo bien claro este ejercicio no se puede hacer por Cauchy? \( \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{k=0 \\  }}-(\displaystyle\frac{3}{7})^n \)

Se puede pero no es aconsejable. El teorema sobre la convergencia de la serie geométrica es demasiado bueno y universal como para no usarlo.

PD:Si tienes mas ejercicios resueltos  de comparación, Cauchy, paso al límite, del cociente, series alternadas, y de la raíz te lo agradeceré!!Necesito practicar mucho y perdí las hojas de ese tema!!

En el apartado Series numéricas y funcionales de Análisis real y complejo puedes encontrar bastantes ejercicios.