[ianrivasyo]

Hola, no se como resolver este problema.

Es verdadero o falso? Justificar.

Tenemos \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n}=1 \) , y  \( \sum_{n=0}^\infty{\frac{a_n+b_n}{a_n}} \)   es una serie convergente y    \( \exists {\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{b_n}} \) \( \longrightarrow{} \) \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{b_n}=-1 \)

Hay que demostrar si \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{b_n}=-1 \) o si no es así a partir de los datos dados.

No estoy seguro de como encarar este ejercicio, parece sencillo, pero no estoy pudiendo avanzar por mas que trate, no se como demostrar esto. Agradecería la ayuda. Un saludo

[Ignacio Larrosa]

Hola, no se como resolver este problema.

Es verdadero o falso? Justificar.

Tenemos \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n}=1 \) , y  \( \sum_{n=0}^\infty{\frac{a_n+b_n}{a_n}} \)   es una serie convergente y    \( \exists {\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{b_n}} \) \( \longrightarrow{} \) \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{b_n}=-1 \)

Hay que demostrar si \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{b_n}=-1 \) o si no es así a partir de los datos dados.

No estoy seguro de como encarar este ejercicio, parece sencillo, pero no estoy pudiendo avanzar por mas que trate, no se como demostrar esto. Agradecería la ayuda. Un saludo

Si la serie es convergente es necesario que el límite de su término general sea cero. Como el denominador tiende a \( 1 \), el numerador tiene que tender a \( 0 \). Y si \( a_n \) tiende a \( 1 \), entonces necesariamente debe ser \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{b_n} = -1 \).

Saludos,