[zimbawe]

Hola, ¿Me podrían ayudar a parametrizar l intersección entre una esfera y un plano?
Yo ya sé que es un círculo, aquí van mis ideas.
Tengo la esfera \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^2 \) y el plano, \( ax+by+cz=0 \) ahora, el centro de la circunferencia de intersección, es la intersección entre la recta normal al plano que pasa por el centro de la esfera. En este caso en particular, el centro de la circunferencia es \( (0,0,0) \) y tiene radio \( r \) ahora, como describo los puntos \( (x,y,z) \) mediante la curva intersección? O sea, como la parametrizo?
Agradezco su ayuda.

[Ignacio Larrosa]

Hola, ¿Me podrían ayudar a parametrizar l intersección entre una esfera y un plano?
Yo ya sé que es un círculo, aquí van mis ideas.
Tengo la esfera \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^2 \) y el plano, \( ax+by+cz=0 \) ahora, el centro de la circunferencia de intersección, es la intersección entre la recta normal al plano que pasa por el centro de la esfera. En este caso en particular, el centro de la circunferencia es \( (0,0,0) \) y tiene radio \( r \) ahora, como describo los puntos \( (x,y,z) \) mediante la curva intersección? O sea, como la parametrizo?
Agradezco su ayuda.

Una posibilidad es despejar \( z \) en la ecuación del plano, para obtener \( z = f(x, y) \), y sustituir en la de la esfera. Obtienes así la ecuación de la proyección de la intersección en el plano \( Oxy \), en este caso una elipse. Parametrizas esta curva en el plano y obtienes \( (x(t), y(t)) \). La intersección es entonces \( (x(t), y(t), f(x(t), y(t))) \).

Saludos,

[zimbawe]

Ya entendí, mil gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, ¿Me podrían ayudar a parametrizar l intersección entre una esfera y un plano?
Yo ya sé que es un círculo, aquí van mis ideas.
Tengo la esfera \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^2 \) y el plano, \( ax+by+cz=0 \) ahora, el centro de la circunferencia de intersección, es la intersección entre la recta normal al plano que pasa por el centro de la esfera. En este caso en particular, el centro de la circunferencia es \( (0,0,0) \) y tiene radio \( r \) ahora, como describo los puntos \( (x,y,z) \) mediante la curva intersección? O sea, como la parametrizo?
Agradezco su ayuda.

Otra opción es tomar una base ortogonal de vectores de longitud \( r \) y parametrizar entonces la circunferencia en esa base a través de las funciones trigonométricas, en la forma usual.

Por ejemplo en general puede tomarse:

\( \vec u=\dfrac{r}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot (-b,a,0) \)
\( \vec v=\dfrac{r}{\sqrt{c^2a^2+c^2b^2+(a^2+b^2)^2}}\cdot (ca,cb,-a^2-b^2) \)

y parametrizar:

\( \alpha(t)=\vec u cos(t)+\vec v sin(t),\quad t\in [0,2\pi) \)

Saludos.

[zimbawe]

Hola Luis, ¿Por que puede ser expresada como combinación lineal de esos vectores?
O sea, en el plano cartesiano se que:
\( c(t)=\sin(t)i+\cos(t)j \) pero porque sigue funcionando en el espacio tridimensional? Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis, ¿Por que puede ser expresada como combinación lineal de esos vectores?
O sea, en el plano cartesiano se que:
\( c(t)=\sin(t)i+\cos(t)j \) pero porque sigue funcionando en el espacio tridimensional? Gracias

Lo que escribes ahí es para un circunferencia de radio \( 1 \). Para una de radio \( r \) sería:

\( c(t)=r\sin(t)i+r\cos(t)j \)

En cualquier caso la cuestión es que lo único relevante para que esa fórmula funcione es que \( \{i,j\} \) es un base ortonormal del plano que contiene a la circunferencia; entonces eso sigue valiendo sea cual sea el plano que la contine y sea cual sea la base ortonormal.

Saludos.

[zimbawe]

Hola Luis o Ignacio, a quien decida brindarme la ayuda, un millón de gracias como siempre.
Tengo una duda, en el plano \( Oxy \) se que tengo una elipse (en este problema en particular), ahora, cuando tengo una elipse con les ejes de simetría n paralelos a los ejes x y y, como halló sus ejes y sus vértices.
En realidad se me ocurrió un método maximizando y minimizando la distancia del centro a la elipse, pero de que otra manera puedo hacerlo?

[Fernando Revilla]

Tengo una duda, en el plano \( Oxy \) se que tengo una elipse (en este problema en particular), ahora, cuando tengo una elipse con les ejes de simetría n paralelos a los ejes x y y, como halló sus ejes y sus vértices.

Completando cuadrados, la elipse será de la forma \( \displaystyle\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\displaystyle\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1 \).

Sus ejes son \( x=x_0 \), \( y=y_0 \) y sus vértices \( (x_0,y_0\pm b) \), \( (x_0\pm a,y_0). \)

P.D. Puede ser útil para el problema inicial que planteaste el caso particular: Ecuaciones paramétricas de la intersección de una esfera y un plano.

[zimbawe]

Hola Fernando, pero si la elipse está rotada? Habrá coeficiente en xy.

[Fernando Revilla]

Hola Fernando, pero si la elipse está rotada? Habrá coeficiente en xy.

"Yes". En tal caso: Centro y ejes de las cónicas y/o Giros y traslaciones en las cónicas.