[elimogo]

Sea \( f:\mathbb{R^n}\longrightarrow{\mathbb{R^n}} \) dada por \( f(x)= \left\|{x}\right\|^2 \cdot{x} \) debo probar que \( f \) es de clase \( C^\infty \) y que \( f:B(0,1)\longrightarrow{B(0,1)} \) es inyectiva. Gracias de antemano.

[mathtruco]

Hola elimogo.

Para la suavidad, nota que la función es polinomial en cada componente.

Para probar la inyectividad, sean \( x,y\in B(0,1) \).

    \( f(x)=f(y)\Rightarrow \|x\|^2x=\|y\|^2y\Rightarrow \|x\|^2x_i=\|y\|^2y_i \)   para \( i=1,\dots n \).

Elevando al cuadrado la última igualdad obtenemos

    \( \|x\|^4x_i^2=\|y\|^4y_i^2 \)   para \( i=1,\dots n \)

y sumando sobre \( i \)

   \(  \|x\|^6=\|y\|^6\Rightarrow \|x\|=\|y\| \).

Luego,

    \( f(x)=f(y)\Rightarrow \|x\|^2x=\|y\|^2y\Rightarrow x=y \)

y por tanto \( f \) es inyectiva.

Nota: No usé el que tengan módulo menor que \( 1 \).