[Miguel.Angel]

Hola chic@s,

Tengo la siguiente integral que he resuelto mediante fracciones simples:

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{x^5+x^4+2x^3+2x^2+x+1}dx \) = \( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{A}{X+1} dx \) + \( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{Bx+C}{X^2+1} dx \) + \( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{Dx+E}{(X^2+1)^2} dx \)

Resolviendo obtengo valores tal que:

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{\frac{1}{4}}{X+1} dx \) + \( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{\frac{-1}{4}x+\frac{1}{4}}{X^2+1} dx \) + \( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{(X^2+1)^2} dx \)

Suponiendo que haya hecho correctamente todo esto, mi problema viene al resolver la segunda integral:

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{\frac{-1}{4}x+\frac{1}{4}}{X^2+1} dx \) = \(  \displaystyle\frac{-1}{4} \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{X}{X^2+1} dx \) + \(  \displaystyle\frac{-1}{4} \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{X^2+1} dx \) = \( \displaystyle\frac{-1}{8} Ln|x^2+1| - \displaystyle\frac{1}{4} arctg (x) + C  \)

En resumen toda la integral la tengo bien, salvo la arcotangente. Según la solución que tengo debe ser \( \displaystyle\frac{1}{2} arctg (x)  \) y no \( - \displaystyle\frac{1}{4} arctg (x) \)

Conozco el método de Hermite para resolver integrales con raíces complejas múltiples, pero en este caso lo quise enfocar así y toda la integral me sale con el resultado que debe salir salvo el coeficiente de la arcotangente.

¿Alguien podría decirme dónde está mi error?

Gracias chic@s

[Ignacio Larrosa]

¿Alguien podría decirme dónde está mi error?

Es que te has inventado un signo '-' al separar en dos la segunda integral. En realidad es:

\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{\frac{-1}{4}x+\frac{1}{4}}{x^2+1} dx = \frac{-1}{4}\displaystyle\int \displaystyle\frac{x}{x^2+1}dx + \frac{1}{4}\displaystyle\int \displaystyle\frac{x}{x^2+1}dx \)

Con el otro \( \arctg \) que resulta de la integral de la tercera fracción, te da entonces el resultado correcto.

Saludos,

[Miguel.Angel]

¿Alguien podría decirme dónde está mi error?

Es que te has inventado un signo '-' al separar en dos la segunda integral. En realidad es:

\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{\frac{-1}{4}x+\frac{1}{4}}{x^2+1} dx = \frac{-1}{4}\displaystyle\int \displaystyle\frac{x}{x^2+1}dx + \frac{1}{4}\displaystyle\int \displaystyle\frac{x}{x^2+1}dx \)

Con el otro \( \arctg \) que resulta de la integral de la tercera fracción, te da entonces el resultado correcto.

Saludos,

Hola Ignacio,

Muchas gracias por la puntualización. Llevas toda la razón con el signo.

Sin embargo no he visto arcotangente alguna en la última fracción:

 \( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{(X^2+1)^2} dx \) =  \( \frac{-1}{2} \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{x}{(X^2+1)^2} dx \) + \( \frac{1}{2}\displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{(X^2+1)^2} dx \)

Aplicando el mismo cambio de variable en ambas integrales:

t=\(  x^2+1 \)
dt= 2x dx
dx=\( \frac{dt}{2x} \)

Obtengo:
 
\( \frac{-1}{2} \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{x}{(X^2+1)^2} dx \) = \( \frac{-1}{2} \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{dt}{2t^2} dx \) = \(  \displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{1}{X^2+1} + C \)


\( \frac{1}{2} \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{(X^2+1)^2} dx \) = \( \frac{1}{2} \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{dt}{t^22X} dx \) = \(  \displaystyle\frac{1}{4X}\displaystyle\frac{1}{X^2+1} + C \)

Estos resultados son correctos según mi solucionario...Me falta, efectivamente, esa otra arcotangente de igual valor...pero no la consigo sacar de la tercera fracción...

¿Alguna idea?

Gracias Ignacio por tu tiempo.

[Ignacio Larrosa]

Veámoslo desde el principio:

\( I = \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{x^5+x^4+2x^3+2x^2+x+1}dx= \displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{4(x+1)}dx - \displaystyle\int\displaystyle\frac{x-1}{4(x^2+1)}dx - \displaystyle\int\displaystyle\frac{x-1}{2(x^2+1)^2}dx \)

Vamos con cada una por separado:

\( \displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{4(x+1)}dx = \displaystyle\frac{1}{4}\ln\left |{x+1}\right | + C \)

\( \displaystyle\int\displaystyle\frac{x-1}{4(x^2+1)}dx = \displaystyle\frac{1}{8}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}-\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{x^2+1}= \displaystyle\frac{1}{8}\ln(x^2+1) - \displaystyle\frac{1}{4}\arctg(x) + C \)

\( \displaystyle\int\displaystyle\frac{x-1}{2(x^2+1)^2}dx = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x}{(x^2+1)^2}dx - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(x^2+1)^2}dx = -\displaystyle\frac{1}{4(x^2+1)}- \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(x^2+1)^2}dx \)

Ésta última la integramos por reducción:

\( \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(x^2+1)^2}dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{(1 + x^2 )- x^2}{(x^2+1)^2}dx \)

\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(x^2+1)}dx -  \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx= \dfrac{1}{2}\arctg(x)
 -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx  \)

La última la hacemos por partes, tomando

\( u = x, du = dx \)
\( dv = \displaystyle\frac{x dx}{(1+x^2)^2}, v = -\displaystyle\frac{1}{2(1+x^2)} \)

\( \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx=  -\displaystyle\frac{x}{4(1+x^2)}+ \dfrac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{1+x^2}dx = -\displaystyle\frac{x}{4(1+x^2)} + \dfrac{1}{4}\arctg(x) + C \)

Ponemos ahora todo junto:

\( I = \displaystyle\frac{1}{4}\ln\left |{x+1}\right | - \displaystyle\frac{1}{8}\ln(x^2+1) + \displaystyle\frac{1}{4}\arctg(x) + \displaystyle\frac{1}{4(x^2+1)} + \dfrac{1}{2}\arctg(x)  +\displaystyle\frac{x}{4(1+x^2)} - \dfrac{1}{4}\arctg(x)  + C  \)

\( \quad =  \displaystyle\frac{1}{4}\ln\left |{x+1}\right | - \displaystyle\frac{1}{8}\ln(x^2+1) + \displaystyle\frac{1}{2}\arctg(x) + \displaystyle\frac{x+1}{4(x^2+1)} + C  \)

Aunque posiblemente hubiésemos acabado antes aplicando directamente el método de Hermite.

Saludos,

[Miguel.Angel]

Menudo crack Ignacio! Ahora lo veo claro.

Infinitas gracias compañero, de vedad!