[Naoj]

Si \( f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n} \) es una función diferenciable que tiene una inversa diferenciable \( f^{-1}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n} \) probar que \( Df^{-1}(a) = [Df(f^{-1}(a))]^{-1} \).

No veo fácilmente este resultado, y parece sencillo... Alguna idea? gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n} \) es una función diferenciable que tiene una inversa diferenciable \( f^{-1}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n} \) probar que \( Df^{-1}(a) = [Df(f^{-1}(a))]^{-1} \).

No veo fácilmente este resultado, y parece sencillo... Alguna idea? gracias.

Depende de los resultados previos que puedas usar.

Normalmente se demuestra tras haber probado la regla de la cadena

\( D(h\circ g)(a)=Dh(g(a))\circ Dg(a) \)

Basta que lo apliques a \( h=f \) y \( g=f^{-1} \), y al revés \( g=f \) y \( h=f^{-1} \).

Saludos.