[Naoj]

Sean \( \varphi,\psi:A\subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R} \) funciones de clase \( C^{\infty} \), \( A \) abierto.
Sea \( \phi:A\rightarrow\mathbb{R}^{2} \)definida por \( \phi=(\varphi,\psi) \) y supongamos que existe una función \( \theta:A\rightarrow\mathbb{R} \) tal que \( \psi(x)=\theta(x)\varphi(x) \).
Sea \( x_{0}\in A \) tal que \( \phi(x_0)=0 \). Pruebe que \( D\phi(x_0) \) tiene rango menor que 2.

Realmente no tengo idea como probar esto, cualquier sugerencia es bien recibida, gracias.

[Masacroso]

Básicamente te dicen que \( \phi=(\varphi,\theta\varphi) \).

Spoiler

Esto que viene a continuación en rojo es mentira: como \( \psi,\varphi\in C^\infty(A,\Bbb R) \) entonces necesariamente \( \theta\in C^\infty(A,\Bbb R) \) también ya que \( \psi=\theta\varphi \). He preferido dejarlo antes que borrarlo del mensaje, el caso es que \( \theta \) podría ser una función constante en \( A\setminus\{x_0\} \) pero tener una discontinuidad evitable en \( x_0 \), entonces claramente \( \theta \) no es diferenciable en \( x_0 \) pero \( \psi \) sí lo es ya que \( \varphi(x_0)=0 \) y por tanto \( \theta(x_0) \) no juega ningún papel en la definición de derivada de \( \psi \) en \( x_0 \).

[cerrar]

Si \( \phi(x_0)=0 \) entonces necesariamente \( \varphi(x_0)=0 \) y te piden mostrar que \( D\phi(x_0) \) no es sobreyectiva. Simplemente tienes que hallar una forma más explícita de \( D\phi(x_0) \), por ejemplo su matriz jacobiana y concluir que, efectivamente, sus dos filas no son linealmente independientes, por tanto su rango no puede ser 2.

Voy a suponer que \( \theta \) es diferenciable en \( x_0 \). Si \( \theta \) es diferenciable en \( x_0 \) entonces se puede utilizar la regla del producto para ver la forma de la matriz jacobiana de \( D\phi(x_0) \) y resolver. No sé si el resultado necesariamente se mantiene cuando \( \theta \) no es diferenciable en \( x_0 \).

CORREGIDO.

[Naoj]

Sinceramente no he logrado una demostración. Como podría empezar?

[Luis Fuentes]

Hola

Sinceramente no he logrado una demostración. Como podría empezar?

Para que el resultado sea cierto \( \theta \) tiene que ser diferenciable.

Por lo demás,... ¡es inmediato!. Concreto lo que te ha sugerido masacroso:

Simplemente si \( \psi(x)=\theta(x)\varphi(x) \), las parciales de \( \psi \) son (por la derivada de un producto):

\( \psi_i(x)=\theta_i(x)\varphi(x)+\theta(x)\varphi_i(x) \)

Si \( \phi(x_0)=0 \) entonces \( \varphi(x_0)=0 \) y:

\( \psi_i(x_0)=\theta(x_0)\varphi_i(x_0) \)

Por tanto en \( x_0 \)  las parciales de \( \psi_i \) son un múltiplo (que no depende de \( i \)) de las parciales de \( \varphi_i \) y así en la matriz jacobiana de \( D\phi(x_0) \) una fila es múltiplo de la otra; por tanto la matriz a lo sumo tiene rango uno.

Saludos.

[Naoj]

Mil gracias.

[Naoj]

Me surge una última duda, ¿por qué el resultado es cierto solo si \( \theta \) es diferenciable en \( x_0 \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Me surge una última duda, ¿por qué el resultado es cierto solo si \( \theta \) es diferenciable en \( x_0 \)?

En el argumento estamos usando de manera decisiva que \( \theta \) es diferenciable, porque de hecho la diferenciamos.

Habría que ver si hay un ejemplo donde no se cumple la propiedad sin la hipótesis de diferenciabilidad o en su defecto otra demostración del resultado que no use la diferenciabilidad.

Saludos.