[Naoj]

Sea \( f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2} \) de clase \( C^{1} \) y escribase \( f \) en la forma \( f(x,y_1,y_2) \). Suponga que \( f(3,-1,2)=0 \) y \( \color{red}[Df(3,-1,2)]=\begin{bmatrix}1&2&1\\1&-1&1\end{bmatrix}\color{black} \).
Muestre que existe una función \( g:B\rightarrow\mathbb{R}^{2} \) de clase \( C^{1} \), definida en un abierto \( B \) de \( \mathbb{R} \) tal que \( f(x,g_1(x),g(x))=0 \) para todo \( x\in B \) y \( g(3)=(-1,2) \)

Sé que debo aplicar el Teorema de la función implicita, pero no entiendo lo de escribir a \( f \) en la forma que piden.

Gracias por cualquier sugerencia.

CORREGIDO

[Masacroso]

Supongo que \( Df(3,-1,2)=[1 2 1,1-11] \) representa la matriz \( [Df(3,-1,2)]=\begin{bmatrix}1&2&1\\1&-1&1\end{bmatrix} \), ¿cierto?

Básicamente lo que te piden es aplicar el teorema de la función implícita con \( f(3,-1,2)=0 \) dada la derivada en el punto antes mencionada.

El teorema de la función implícita nos dice que para una función \( f\in C^q(W, F) \), con \( W\subset E_1\times E_2 \) abierto y espacios de Banach \( E_1,E_2,F \) cualesquiera si \( f(x_0,y_0)=0 \) y \( D_2 f(x_0,y_0) \) es invertible entonces existe un entorno de \( x_0 \), llamémoslo \( V \), y un entorno de \( (x_0,y_0) \), llamémoslo \( U \) y una única función \( g\in C^q(V,E_2) \) tales que

\( \displaystyle (x,y)\in U\land f(x,y)=0\iff x\in V\land y=g(x)\tag 1 \)

En este caso tienes que \( x_0=3 \) y \( y_0=(-1,2) \), por tanto conociendo \( D f(3,-1,2) \) debes verificar que \( D_2 f(3,-1,2) \) es invertible. Sólo necesitas saber que

\( \displaystyle Df(x_0,y_0)(h,j)=D_1 f(x_0,y_0)h+D_2 f(x_0,y_0)j\tag2 \)

para \( h\in\Bbb R \) y \( j\in\Bbb R^2 \), habiendo definido \( f:\Bbb R\times\Bbb R^2\to\Bbb R^2,\, (x,y)\mapsto f(x,y) \). Por tanto de (2) se deduce que

\( \displaystyle [D_2f(3,-1,2)]=\begin{bmatrix}2&1\\-1&1\end{bmatrix} \)

Es decir, sólo te queda comprobar que \( \det([D_2 f(3,-1,2)])\neq 0 \).

[Naoj]

Gracias, he entendido un poco, pero sigo sin comprender como se puede escribir f en la forma f(x,y) (en forma general como dice el teorema).
Tampoco entiendo muy bien como se deduce que, de la matriz \( Df \) se puede obtener \( D_2f \). Mi manera de entenderlo es como sigue, dada \( f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m} \), escribimos \( f:\mathbb{R}^{n-m}\times\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{m} \), luego, sabemos que \( Df \) representa una matriz de \( m\times n \), de donde \( Df = [\partial f/\partial x \ \ \partial f/\partial y] \), y así \( [\partial f/\partial y] \) viene siendo una submatriz de \( m\times m \). Es correcto?

EDIT: Otra inquietud que tengo es, en el teorema dice que existe una vecindad \( U \) y una función \( g:U\rightarrow\mathbb{R}^{n} \) tal que \( g(a)=b \) y \( f(x,g(x))=0 \), \( \forall x\in B \). ¿En el ejercicio debo deducir como está definida \( g \)?, o simplemente me importa la existencia y las condiciones que satisface?

[Masacroso]

Gracias, he entendido un poco, pero sigo sin comprender como se puede escribir f en la forma f(x,y) (en forma general como dice el teorema).
Tampoco entiendo muy bien como se deduce que, de la matriz \( Df \) se puede obtener \( D_2f \). Mi manera de entenderlo es como sigue, dada \( f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m} \), escribimos \( f:\mathbb{R}^{n-m}\times\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{m} \), luego, sabemos que \( Df \) representa una matriz de \( m\times n \), de donde \( Df = [\partial f/\partial x \ \ \partial f/\partial y] \), y así \( [\partial f/\partial y] \) viene siendo una submatriz de \( m\times m \). Es correcto?

EDIT: Otra inquietud que tengo es, en el teorema dice que existe una vecindad \( U \) y una función \( g:U\rightarrow\mathbb{R}^{n} \) tal que \( g(a)=b \) y \( f(x,g(x))=0 \), \( \forall x\in B \). ¿En el ejercicio debo deducir como está definida \( g \)?, o simplemente me importa la existencia y las condiciones que satisface?

Hay varias formas de escribir el teorema, busca otras hasta que veas una donde lo veas claro. Sí, esto \( Df = [\partial f/\partial x \ \ \partial f/\partial y] \) es correcto, entiendo que la matriz de la derivada está formada por submatrices que representan las derivadas respecto a cada variable.

La deducción se hace observando que

\( \displaystyle Df(x,y)(a,b)=D_1 f(x,y)a+D_2 f(x,y)b,\quad [D f(x,y)]=[D f(x,y_1,y_2)]\implies [D f(x,y)]\begin{bmatrix}a\\b_1\\b_2\end{bmatrix}=[D_1 f(x,y)]a+[D_2 f(x,y)]\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}\\\implies [D_1 f(x,y)]=\begin{bmatrix}\partial_x f_1(x,y)\\\partial_x f_2 (x,y)\end{bmatrix},\quad [D_2 f(x,y)]=\begin{bmatrix}\partial_{y_1} f_1(x,y)&\partial_{y_2} f_1(x,y)\\\partial_{y_1} f_2(x,y)&\partial_{y_2} f_2(x,y)\end{bmatrix} \)

En el ejercicio no debes deducir la definición de \( g \) (esto es imposible sin más datos) simplemente demostrar que tal \( g \) existe, es decir, que las condiciones donde se aplica el teorema de la función implícita se cumplen.

[Naoj]

Muchisimas gracias, he resulto todas mis dudas.