[Jambo]

Hola! Tengo que probar lo siguiente, espero puedan ayudarme

1.\( MCD(b,a+bc)=MCD(a,b) \) (Donde \( MCD \) es el Máximo Común Divisor)

Hice lo siguiente: como \( MCD(b,a+bc)=e \) divide a \( b \) y a \( a+bc \) concluí que \( b=ek_1 \) y \( a+bc=ek_2 \) respectivamente, al sustituir llegué a que \( a=e(k_2-k_1c)=ek_3 \) entonces \( e \) divide a \( a \) de lo que podría concluir que \( e\leq{MCD(a,b)} \). Lo que quiero hacer para terminar esta demostración es que \( e\geq{MCD(a,b)} \) para luego decir que \( e=MCD(a,b)[/tex pero no se me ocurre que hacer  :(

2.Si [tex]a \) es par y \( b \) impar, entonces \( MCD(a,b)=MCD(\displaystyle\frac{a}{2},b) \)

Y tengo el mismo problema, \( c=MCD(\displaystyle\frac{a}{2},b) \) entonces \( c \) divide a \( \displaystyle\frac{a}{2} \) luego también divide a \( a \) por lo tanto \( c\leq{MCD(a,b)} \); y quiero hacer exactamente lo de la parte anterior y tampoco puedo 

(También me gustaría saber si lo que planteé esta bien...)

Agradezco su ayuda!

[robinlambada]

Hola.

Hola! Tengo que probar lo siguiente, espero puedan ayudarme

1.\( MCD(b,a+bc)=MCD(a,b) \) (Donde \( MCD \) es el Máximo Común Divisor)

Hice lo siguiente: como \( MCD(b,a+bc)=e \) divide a \( b \) y a \( a+bc \) concluí que \( b=ek_1 \) y \( a+bc=ek_2 \) respectivamente, al sustituir llegué a que \( a=e(k_2-k_1c)=ek_3 \) entonces \( e \) divide a \( a \) de lo que podría concluir que \( e\leq{MCD(a,b)} \). Lo que quiero hacer para terminar esta demostración es que \( e\geq{MCD(a,b)} \) para luego decir que \( e=MCD(a,b)[/tex pero no se me ocurre que hacer  :(

2.Si [tex]a \) es par y \( b \) impar, entonces \( MCD(a,b)=MCD(\displaystyle\frac{a}{2},b) \)

Y tengo el mismo problema, \( c=MCD(\displaystyle\frac{a}{2},b) \) entonces \( c \) divide a \( \displaystyle\frac{a}{2} \) luego también divide a \( a \) por lo tanto \( c\leq{MCD(a,b)} \); y quiero hacer exactamente lo de la parte anterior y tampoco puedo 

(También me gustaría saber si lo que planteé esta bien...)

Agradezco su ayuda!

Con un razonamiento análogo pero a la inversa.

Te lo hago para el apartado 1º:

Sea \( M.C.D(a,b)=d \), tu has probado que \( e|d \)

Falta ver que \( d|e \)

Si \( M.C.D(a,b)=d \) , entonces \( a=d\cdot{}m_1 \) y \( b=d\cdot{}m_2 \)

\( a+bc=d\cdot{}m_1+d\cdot{}m_2\cdot{}c=d(m_1+m_2\cdot{}c)\Rightarrow{}d|e \) por ello \( MCD(b,a+bc)=MCD(a,b) \)

Saludos.