[mathlife]

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considerado el funcional \( F(y)=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+y'^2} \), se pide probar que existe algún v de clase 2 cumpliendo que \( v(0)=v(1)=0 \) y tal que la derivada direccional de F con respecto a v,\( \delta_vF(y) \), es no nula.

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considerado el funcional \( F(y)=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+y'^2} \), se pide probar que existe algún v de clase 2 cumpliendo que \( v(0)=v(1)=0 \) y tal que la derivada direccional de F con respecto a v,\( \delta_vF(y) \), es no nula.

Gracias.

Estás trabajando entiendo en un espacio de funciones en \( [0,1] \). ¿Cuál?¿Con qué norma?.

Saludos.

[mathlife]

Hola

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considerado el funcional \( F(y)=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+y'^2} \), se pide probar que existe algún v de clase 2 cumpliendo que \( v(0)=v(1)=0 \) y tal que la derivada direccional de F con respecto a v,\( \delta_vF(y) \), es no nula.

Gracias.

Estás trabajando entiendo en un espacio de funciones en \( [0,1] \). ¿Cuál?¿Con qué norma?.

Saludos.

Hola,

El espacio de  funciones es \( C^2[0,1] \) y la norma es la norma del máximo

[Luis Fuentes]

Hola

 La derivada direccional sería el límite:

\( \displaystyle\lim_{h\to 0}{}\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+((y+hv)')^2}-\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+y'^2}}{h} \)

 Aplicando L'Hopital y derivación para integrales paramétricas queda:

\(  \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{y'v'}{\sqrt{1+(y)')^2}} \)

 Ahora necesitas ¿encontrar la \( v \) que de una derivada no nula para cualquier \( y \)? Por que por ejemplo cuando \( y'=0 \) (es decir \( y \) constante), parece que la derivada direccional (si no me he equivocado) es nula en cualquier dirección.

Saludos.