[Naoj]

Buen día, estoy intentando demostrar un ejercicio pero no he podido dar con algo concreto. Cualquier idea mil gracias.

Si \( f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n} \) es una función definida por \( f(x)=\mid x \mid \cdot x \). Probar que \( f \) es de clase \( C^{\infty} \) y que envia la bola unitaria \( B(0,1) \), de manera biyectiva en si misma. Mostrar que sin embargo la inversa de \( f \) no es diferenciable en 0.

[Masacroso]

Para demostrar que \( f\in C^\infty(\Bbb R^n,\Bbb R^n) \) primero tienes que demostrar que es de clase \( C^\infty \) en \( \Bbb R^n\setminus\{0\} \), y después que lo es en el cero (pista: utilizando inducción sobre la definición de derivada de Fréchet tienes que demostrar que \( \partial^n f(0)=0 \) y que \( \partial^n f(x)\in o(\|x\|) \) cuando \( x\to 0 \) para todo \( n\in\Bbb N \)).

Para demostrar que \( f \) es biyectiva en \( B(0,1) \) simplemente tienes que demostrar que es inyectiva y que es sobreyectiva. Demostrar ambas cosas es bastante trivial utilizando las definiciones de inyectividad y sobreyectividad.

Por último, sabiendo que \( f \) es biyectiva en \( B(0,1) \), debes encontrar su inversa y demostrar que no es diferenciable en el cero (por ejemplo utilizando la definición de derivada).

[Luis Fuentes]

Hola

Para demostrar que \( f \) es biyectiva en \( B(0,1) \) simplemente tienes que demostrar que es inyectiva y que es sobreyectiva. Demostrar ambas cosas es bastante trivial utilizando las definiciones de inyectividad y sobreyectividad.

Por último, sabiendo que \( f \) es biyectiva en \( B(0,1) \), debes encontrar su inversa y demostrar que no es diferenciable en el cero (por ejemplo utilizando la definición de derivada).

Yo ahí calcularía la inversa primero y de ahí es inmediato que es inyectiva y sobreyectiva.

Spoiler

La inversa es.

\( f^{-1}(y)=\dfrac{y}{\sqrt{\|y\|}} \)

[cerrar]

Saludos.

[Naoj]

No comprendo muy bien lo de la diferencial de Fréchet, ya que en mi curso de análisis vectorial, la diferencial se define como un límite en donde existe una transformación lineal. Es lo mismo?

[Luis Fuentes]

Hola

No comprendo muy bien lo de la diferencial de Fréchet, ya que en mi curso de análisis vectorial, la diferencial se define como un límite en donde existe una transformación lineal. Es lo mismo?

Si; es lo mismo.

Lo que te dice Masacroso es que en el origen esa transformación lineal es la nula.

Saludos.

[Naoj]

Gracias, ya he podido hacer una demostración decente 

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n} \) es una función definida por \( f(x)=\mid x \mid \cdot x \). Probar que \( f \) es de clase \( C^{\infty} \) y que envia la bola unitaria \( B(0,1) \), de manera biyectiva en si misma. Mostrar que sin embargo la inversa de \( f \) no es diferenciable en 0.

Revisando este ejercicio al compararlo con este otro:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=102316.0;topicseen

Ahora no veo claro que sea de clase infinito. Por ejemplo si \( n=2 \) tenemos:

\( F(x,y)=(x\sqrt{x^2+y^2},y\sqrt{x^2+y^2}) \)

Si nos fijamos en la primera compontente:

\( \dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
\( \dfrac{\partial^2 F_1}{\partial y\partial x}=\dfrac{y\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{x^2y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{y^3}{(\sqrt{x^2+y^2})^3} \)

Y esa función no es continua en \( (0,0) \), por tanto no puede ser de clase infinito. Si hacemos el límite por trayectorias \( (x,y)=(t,at) \):

\( \displaystyle\lim_{t\to 0}{}\dfrac{a^3t^3}{(\sqrt{t^2+a^2t^2})^3}=\dfrac{a^3}{\sqrt{1+a^2}} \)

depende de \( a \).

¿Me equivoco en algo?.

Saludos.