[elimogo]

Tengo una funcion \( f:\mathbb{R^2}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dada por: \( f(x,y)=\left |{xy}\right | \), y debo demotrar que la funcion es diferenciable en \( (0,0) \) pero que no es de clase \( C^1 \) en cualquier vecindad del \( (0,0) \). Gracias de antemano.

[Fernando Revilla]

Tengo una funcion \( f:\mathbb{R^2}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dada por: \( f(x,y)=\left |{xy}\right | \), y debo demotrar que la funcion es diferenciable en \( (0,0) \) pero que no es de clase \( C^1 \) en cualquier vecindad del \( (0,0) \). Gracias de antemano.

La primera parte es rutinaria. Demuestra que \( \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=0 \), y como consecuencia la única posible diferencial en \( (0,0) \) es \( \lambda:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} \)  \( \lambda(h,k)=0h+0k=0 \). Al ser

          \( \displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)}\displaystyle\frac{\left |{f(h,k)-f(0,0)-\lambda (h,k)}\right |}{\sqrt{h^2+k^2}}=\ldots=0 \), 
 
\( f \) es diferenciable en \( (0.0) \). Para ver que no es de clase \( 1 \) en ningún entorno de \( (0.0) \) intenta hallar \( \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,y_0) \) para \( y_0\ne 0 \).

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo una funcion \( f:\mathbb{R^2}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dada por: \( f(x,y)=\left |{xy}\right | \), y debo demotrar que la funcion es diferenciable en \( (0,0) \) pero que no es de clase \( C^1 \) en cualquier vecindad del \( (0,0) \). Gracias de antemano.

Para ver que es diferenciable en \( (0,0) \):

- Halla las parciales en \( (0,0) \) y comprueba que son cero.

- De lo anterior se deduce que la candidata a diferencial es la aplicación nula y por tanto es diferenciable en cero si:

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)}{}\dfrac{f(x,y)-f(0,0)}{\|(x,y)\|}=0 \)

- Comprueba que ese límite es cero. Para ello puedes utilizar que:

\( |x|\leq \sqrt{x^2+y^2} \)

Para ver que no es de clase 1 en un entorno del cero, comprueba que de hecho las parciales no existen en ningún entorno del cero. La clave es que para cualquier \( y_0>0 \) no existe la derivada parcial respecto de \( x \) en \( (0,y_0) \). Verifícalo.

Saludos.

P.D. Desenfundó antes Fernando...