[FrancoMonse]

Estudie la convergencia o divergencia de:
i)\(  \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \) \( ln \displaystyle\frac{n+1}{n} \)

ii)\( \displaystyle\int_{1}^{\infty} \) \(  ln \displaystyle\frac{x+1}{x} dx \)

[delmar]

Hola
i)

Observa que la serie se puede poner en esta forma : \( S_k=\displaystyle\sum_{n=1}^k{ln(\displaystyle\frac{n+1}{n})}=\displaystyle\sum_{n=1}^k{ln(n+1)-ln(n)} \)

Es una serie telescópica, en consecuencia \( S_k=ln(k+1)-ln(1) \), ahí ya puedes hacer \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{S_k} \) y averiguar si converge o no.

ii)

La función integrando es estrictamente decreciente, utilizando el resultado anterior puedes sacar tus conclusiones respecto a la convergencia de este integral.



Saludos

[FrancoMonse]

Hola
i)

Observa que la serie se puede poner en esta forma : \( S_k=\displaystyle\sum_{n=1}^k{ln(\displaystyle\frac{n+1}{n})}=\displaystyle\sum_{n=1}^k{ln(n+1)-ln(n)} \)

Es una serie telescópica, en consecuencia \( S_k=ln(k+1)-ln(1) \), ahí ya puedes hacer \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{S_k} \) y averiguar si converge o no.

ii)

La función integrando es estrictamente decreciente, utilizando el resultado anterior puedes sacar tus conclusiones respecto a la convergencia de este integral.



Saludos

Muchas gracias!