[SeedKs]

Hola, buenas tardes! Tengo un problema con un ejercicio de un límite.

            \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{n}\sqrt[ ]{n+1}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{n}\sqrt[ ]{n+2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{n}\sqrt[ ]{n+3}}+\ldots+\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{n}\sqrt[ ]{n+n}})} \)

La idea es resolverlo reduciéndolo a una suma de Riemann y resolverlo utilizando integrales, pero no logro hacerlo...

[Masacroso]

El límite que tienes es el siguiente

\( \lim_{n\to\infty}\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{n}\sqrt{n+k}}\tag1 \)

y por otro lado una suma de Riemann suele ser algo como \( \frac1n\sum_{k=0}^n f(k/n) \), de lo cual luego tenemos que

\( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=0}^n f(k/n)=\int_0^1 f(x)\,\mathrm dx\tag2 \)

Entonces lo primero que se me ocurre es multiplicar y dividir por \( \sqrt{n} \) en (1) y después arreglarlo hasta encontrar una función de \( k/n \), es decir, poder escribirlo como en (2). Dicho esto ya lo tienes casi hecho, por último te quedaría corregir el índice de la sumatoria añadiendo y restando el caso \( k=0 \).


También, como curiosidad, puedes utilizar los teoremas de este artículo sobre generalizaciones en las sumas de Riemann.

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces lo primero que se me ocurre es multiplicar y dividir por \( \sqrt{n} \) en (1) y después arreglarlo hasta encontrar una función de \( k/n \), es decir, poder escribirlo como en (2). Dicho esto ya lo tienes casi hecho, por último te quedaría corregir el índice de la sumatoria añadiendo y restando el caso \( k=0 \).

En realidad el índice donde comience la sumatoria, siendo fijo, es indiferente ya que cuando \( n\to \infty \) los términos de la sumatoria tienden a cero.

Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Hola

Entonces lo primero que se me ocurre es multiplicar y dividir por \( \sqrt{n} \) en (1) y después arreglarlo hasta encontrar una función de \( k/n \), es decir, poder escribirlo como en (2). Dicho esto ya lo tienes casi hecho, por último te quedaría corregir el índice de la sumatoria añadiendo y restando el caso \( k=0 \).

En realidad el índice donde comience la sumatoria, siendo fijo, es indiferente ya que cuando \( n\to \infty \) los términos de la sumatoria tienden a cero.

Saludos.

La diferencia entre empezar en 0 o en 1 es utizar las sumas supriores o inferiores, que si la función es integrable, tienen el mismo límite.

Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

La diferencia entre empezar en 0 o en 1 es utizar las sumas supriores o inferiores, que si la función es integrable, tienen el mismo límite.

Pero lo que yo quiero decir es que, por ejemplo:

\( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{n}\sqrt{n+k}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \sum_{k=2018}^n\frac1{\sqrt{n}\sqrt{n+k}} \)

Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Hola

La diferencia entre empezar en 0 o en 1 es utizar las sumas supriores o inferiores, que si la función es integrable, tienen el mismo límite.

Pero lo que yo quiero decir es que, por ejemplo:

\( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{n}\sqrt{n+k}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \sum_{k=2018}^n\frac1{\sqrt{n}\sqrt{n+k}} \)

Saludos.

Si, si, naturalmente. Yo solo lo estaba interpretando en términos de las sumas de Riemann. En este sentido, los k primeros términos, con k fijo, aproximan el área de una región cuya altura tiende a \( f(0) \) y su base a \( 0 \).

Saludos,

[Masacroso]

Bueno, sí, ahora que lo pienso. Una cantidad de sumandos finita tiende su valor a cero. Gracias a ambos.

[nia]

Referencia: de Ignacio Larrosa, "...según el caso 0/1, da la suma superior o inferior...."

Comentario: Supongo que se cumple si la función f es monótona (como se induce del ejemplo del hilo, que parece dará decreciente).
                   En el caso general parece requerir la existencia de la integral citada.


Referencia: de Luis Fuentes, sobre límite de una sucesión.

Comentario: Parece que cada término de la sucesión corresponde a una suma integral, que se va afinando, que coincidirá mas con la integral (de existir), a medida que se avance.

Nota Por otra parte en general, los límites no depende de los primeros términos, no así las series que son acumulativas. (Se nota que lo he repasado hace poco.)

[Ignacio Larrosa]

Referencia: de Ignacio Larrosa, "...según el caso 0/1, da la suma superior o inferior...."

Comentario: Supongo que se cumple si la función f es monótona (como se induce del ejemplo del hilo, que parece dará decreciente).
                   En el caso general parece requerir la existencia de la integral citada.

Claro, me estaba refiriendo a este ejemplo concreto. Si la función fuese monótona creciente sería al contrario. Pero como queda dicho, en cualquier caso el límite es el mismo, al ser la función integrable.

Referencia: de Luis Fuentes, sobre límite de una sucesión.

Comentario: Parece que cada término de la sucesión corresponde a una suma integral, que se va afinando, que coincidirá mas con la integral (de existir), a medida que se avance.

Es que ese límite no es otra cosa que la integral de Riemann de \( f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + x}}\textrm{ en }[0, 1] \)

Saludos,

[nia]

Gracias, también por la solución que ni me había planteado resolverla (por cobardica) y ahora me obligáis a entenderla. (Estoy oxidado, aunque ya antes no se me daba bien.)