Hola Rectilíneo
He hecho lo siguiente:
\( v=\frac{dx}{dt} \longrightarrow dt=\frac{1}{v}dx \longrightarrow \displaystyle\int_{0}^{t}dt=\displaystyle\int_{-4R}^{-R}\displaystyle\frac{1}{U_0\Big(1+\displaystyle\frac{R^3}{x^3}\Big)}dx \)
Pero esta integral creo que es divergente. ¿Alguna ayuda? 
La integral planteada es correcta, haciendo algunos cambios para poderla integrar :
\( \displaystyle\int_{0}^{t}dt=\displaystyle\int_{-4R}^{-R}\displaystyle\frac{1}{U_0\Big(1+\displaystyle\frac{R^3}{x^3}\Big)}dx=\displaystyle\frac{1}{U_0}\ \displaystyle\int_{-4R}^{-R} \ \displaystyle\frac{x^3}{x^3+R^3} \ dx=\displaystyle\frac{1}{U_0}\ \displaystyle\int_{-4R}^{-R} \ (1-\displaystyle\frac{R^3}{x^3+R^3}) \ dx=\displaystyle\frac{3R}{U_0}-\displaystyle\frac{R}{U_0}\displaystyle\int_{-4R}^{-R} \ \displaystyle\frac{1}{(\displaystyle\frac{x}{R})^3+1} \ (\displaystyle\frac{1}{R})dx
\) Ec. 1
Para hallar el integral de la Ec. 1 se hace un cambio de variable \( u=\displaystyle\frac{x}{3} \), se tiene :
\( \displaystyle\int_{-4R}^{-R} \ \displaystyle\frac{1}{(\displaystyle\frac{x}{R})^3+1} \ (\displaystyle\frac{1}{R})dx=\displaystyle\int_{-4}^{-1} \ \displaystyle\frac{1}{u^3+1} \ du \) Ec. 2
Descomponemos en fracciones simples :
\( \displaystyle\frac{1}{u^3+1}=\displaystyle\frac{A}{u+1}+\displaystyle\frac{Bu+C}{u^2-u+1} \)
Se hallan las constantes y lo que sigue ya se puede integrar.
Saludos
AÑADODisculpen por mi falta de rigurosidad; pero en lugar del límite superior del integral -1 en realidad, se ha de poner una variable, por ejemplo X y luego el integral en función de X se ha de hacer tender a -1, no he hecho las cuentas, puede ser divergente.
