Ayuda con este ejercicio
Sea s(x) el desarrollo general de Fourier de g(x)=x en [0,2]. Utilícelo para
calcular razonadamente:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{sin(n)}{n} } \)
He visto ejemplos y buscan el \( \displaystyle\frac{sin(n)}{n} \) en el desarrollo de fourier y con x=1/pi lo encuentras la cosa es que como hallas el resultado de eso si tienes otra vez lo mismo?
Gracias
Has utilizado para la suma una \( i \), mientras que el término general depende de \( n \). Supongo que es la misma variable.
Tenemos que
\( s(x) = 1 -2 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{\sen(n\pi x)}{n\pi}} \)
Entonces,
\( \displaystyle\frac{1}{\pi} = s\left(\displaystyle\frac{1}{\pi}\right) = 1 - 2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{\sen(n)}{n\pi}} \)
Multiplicando por \( \pi \) y despejando la suma,
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{\sen(n)}{n}} = \displaystyle\frac{\pi-1}{2} \)
Saludos,
