Hola a todos! El enunciado literal y completo dice:
"Sea \( \mathbb R \) el conjunto de los números reales. Probar si \( f:(\mathbb R,+)\to (\mathbb R-\{0\},\cdot) \) tal que \( f(x)=-3x \) es un isomorfismo de grupos."
Me parece que es falso, de acá a la China es falso, pero como lo probé yo estaba mal. Yo puse que es falso porque la aplicación (¿aplicación?) no es sobreyectiva, pues \( \exists 0\in\mathbb R:f(0)=-3\cdot 0=0 \), pero \( 0\not\in\mathbb R-\{0\} \).
Otra forma puede ser esta (se me ocurrió después): la \( I_f=\mathbb R \), pues \( -3x \) es una función lineal, y \( G_2=\mathbb R-\{0\} \), pero \( I_f\neq G_2 \), por tanto no es sobreyectiva (epimorfismo).
O sino esto también se me ocurrió, pero no sé cómo seguirlo: Quiero probar que no es inyectiva (monomorfismo), o sea (negando la definición de monomorfismo, la cual dice \( \forall x_1,x_2\in G_1:f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \)) \( \quad\exists x_1,x_2\in G_1: f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1\neq x_2 \).
\( f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow -3x_1=-3x_2\Rightarrow x_1=x_2 \), pero quería probar que \( x_1\neq x_2 \). ¿Acaso será inyectiva?
¿Cómo puedo probar o refutar el enunciado?
Gracias!
Saludos
