Se puede ver así también: dos vectores son normales cuando su producto escalar vale cero. La dirección de una recta \( f(x):= ax+b \) define vectores direccionales \( {\bf v}_{x,y}=(y,f(y))-(x,f(x))=(y-x,f(y)-f(x))=(c,ac)=c\cdot(1,a) \) para algún par \( x,y \) tal que \( c:=y-x\neq 0 \).
Entonces las rectas tangente y normal a un punto de una gráfica lo son cuando pasan por el punto y los vectores direccionales que definen son normales. Si la recta normal fuese la dada por \( g(x):=a'x+b' \) entonces eso define vectores direccionales dados por \( {\bf w}_{z,t}=(c',a'c')=c'\cdot(1,a') \) con \( c':=t-z\neq 0 \), y por tanto los vectores \( {\bf v}_{x,y},{\bf w}_{z,t} \) son normales entre sí cuando \( a=-\frac1{a'} \). Por lo cual si la pendiente de la recta tangente a \( x_0 \) viene dada por \( f'(x_0) \) entonces la pendiente de la recta normal a \( x_0 \) vendrá dada por \( -1/f'(x_0) \).
