[Quema]

Hola y dale Juana... pero es una duda que sigo teniendo.

Si tengo \( X,Y,Z \)variables aleatorias idénticamente distribuidas. Ahora es claro que la distribución de probabilidades de\( aX+(1-a)Y \)es igual a la de \( (1-a)X+aY \)cierto?
Más aún
\( aX+aY+aZ \)es intercambiable. Es decir, una suma lineal de v.a. idénticamente distribuidas es intercambiable.

[Luis Fuentes]

Hola

 En fin. Vamos con un ejemplo, porque si no protestas  . Consideramos el vector aleatorio discreto \( (X,Y) \) con la siguiente tabla de probabilidad. Puedes comprobar que las marginales coinciden y \( X \) e \( Y \) están idénticamente distribuidas.

\( \left.{\begin{matrix}{X/Y}&{0}&{1}&{2}\\{0}&{0}&{0}&{1/4}\\{1}&{1/4}&{0}&{0}\\{2}&{0}&{1/4}&{1/4}\end{matrix}\right. \)

 La variable \( Z=aX+bY \) toma valores en los puntos \( ai+bj \) con \( i,j\in \{0,1,2\} \) con probabilidades:

 \( \left.{\begin{matrix}\\{P(Z=0)=0}&{P(Z=b)=0}&{P(Z=2b)=1/4}\\{P(Z=a)=1/4}&{P(Z=a+b)=0}&{P(Z=a+2b)=0}\\{P(Z=2a)=0}&{P(Z=2a+b)=1/4}&{P(Z=2a+2b)=1/4}\end{matrix}\right. \)

 Si intercambias los papeles de \( X \) e \( Y \) te queda, \( Z=bX+aY \) con probabilidades:

 \( \left.{\begin{matrix}\\{P(Z=0)=0}&{P(Z=a)=0}&{P(Z=2a)=1/4}\\{P(Z=b)=1/4}&{P(Z=a+b)=0}&{P(Z=2a+b)=0}\\{P(Z=2b)=0}&{P(Z=a+2b)=1/4}&{P(Z=2a+2b)=1/4}\end{matrix}\right. \)

 Como ves no coincide con la anterior (por ejemplo en la probabilidad en \( a \) o en \( b \))

Saludos.

[Quema]

Gracias Manco, pero no es protestar, alguien dijo el que no pregunta algo que no entiende es un tonto. Te cambio, sin embargo si \( a=b \)más la condición de idénticamente distribuida entonces la función de densidad sería la misma.
Ejemplo:
\( Y=\displaystyle\frac{1}{n}X_1+\displaystyle\frac{1}{n}X_2+...+\displaystyle\frac{1}{n}X_n \)

siendo las v.a. idénticamente distribuida, entonces su función de densidad será la misma independiente de las permutaciones que haga en estas. Es decir que puedo asegurar entonces que
\( E(X_i/Y) \)es igual para todo \( i \)cierto?

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo de la protesta era un pequeño guiño eh. Haces bien en protestar y por supuesto,  en preguntar:

"Quien teme preguntar, le avergüenza aprender" - Proverbio Danés.

 Hombres, es que si las constantes que multiplican son las mismas no hay duda.

\(  aX+aY=aY+aX \)

simplemente porque la suma es conmutativa.

Saludos.

[Quema]

Gracias Manco, hasta sabés los proverbios, muy buena cultura.

A mi la que más me gusta es un cuento, que seguramente lo conoces, de Pio Baroja y un dialogo con los pescadores. Donde Don Pio descansaba mientras hacía el jardin y trabajaba mientras estaba sentado mirando el horizonte.