[manooooh]

Hola a todos! Debo probar o refutar lo siguiente:

"Si \( (G,\ast) \) es un grupo con \( 4 \) elementos entonces por lo menos \( 2 \) elementos son su propio simétrico."


Hasta ahora no pude encontrar un contraejemplo. ¿Es verdadera? ¿Cómo lo pruebo?

Gracias!
Saludos

[Masacroso]

Una forma de resolver este problema es por fuerza bruta, teniendo en cuenta que en un grupo \( (G,\odot) \) las ecuaciones en \( x \) y en \( y \) definidas por \( r\odot x=s \) y \( y\odot r=s \) tienen una única solución, para cualquier par \( r,s\in G \).

Sea \( G:=\{e,a,b,c\} \), con \( e \) el elemento neutro, entonces puedes dibujar una tabla del tipo

\( \displaystyle \begin{array}{c|lcr}
 & e & a & b &c \\
\hline
e & e & a & b & c \\
a & a&  & & \\
b &b & & & \\
c&c& & \\
\end{array} \)

donde cada cruce es la operación de los elementos que encabezan fila y columna (si el grupo fuese conmutativo la tabla sería simétrica respecto de la diagonal). Los simétricos de sí mismos (entiendo que por simétrico quieres decir inverso) son las \( e \) que aparezcan en la diagonal.

En la tabla faltaría rellenar los cruces que están vacíos para definir un grupo de cuatro elementos. Con estos datos ya puedes demostrar si la proposición es falsa o verdadera, aunque supongo que habrá otra forma más sencilla y bonita de hacerlo.

[manooooh]

Hola

Sí, cuando hablo de simétrico me refiero al inverso (la notación para el inverso la tengo así: \( a' \)). Luis también me dijo lo mismo pero como en mi universidad lo llaman así y bueno, me quedó ese nombre jaja.

En esa tabla que armaste, ¿cómo podría terminarla? Según entendí de vos, en la diagonal principal pondríamos el neutro, mientras que los elementos que faltan en las triangulares superior e inferior ponemos a nuestro gusto. Luego para demostrar que al menos 2 elementos tienen su propio simétrico haría:

\( e'=e\\a'=a\\b'=b\\c'=c, \)

por tener en la diagonal principal todos \( e \). Y con esto queda demostrada la proposición .

[Masacroso]

Hola

Sí, cuando hablo de simétrico me refiero al inverso (la notación para el inverso la tengo así: \( a' \)). Luis también me dijo lo mismo pero como en mi universidad lo llaman así y bueno, me quedó ese nombre jaja.

En esa tabla que armaste, ¿cómo podría terminarla? Según entendí de vos, en la diagonal principal pondríamos el neutro, mientras que los elementos que faltan en las triangulares superior e inferior ponemos a nuestro gusto. Luego para demostrar que al menos 2 elementos tienen su propio simétrico haría:

\( e'=e\\a'=a\\b'=b\\c'=c, \)

por tener en la diagonal principal todos \( e \). Y con esto queda demostrada la proposición .

Del teorema sobre la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones antes planteadas en mi anterior respuesta se puede ver que en cada fila de la tabla, y en cada columna, no se pueden repetir elementos (más o menos como los sudokus, de hecho creo que los sudokus representan alguna clase de grupos). Con eso se puede encontrar un grupo que demuestre que la proposición es falsa.

[manooooh]

Hola

Sí, cuando hablo de simétrico me refiero al inverso (la notación para el inverso la tengo así: \( a' \)). Luis también me dijo lo mismo pero como en mi universidad lo llaman así y bueno, me quedó ese nombre jaja.

En esa tabla que armaste, ¿cómo podría terminarla? Según entendí de vos, en la diagonal principal pondríamos el neutro, mientras que los elementos que faltan en las triangulares superior e inferior ponemos a nuestro gusto. Luego para demostrar que al menos 2 elementos tienen su propio simétrico haría:

\( e'=e\\a'=a\\b'=b\\c'=c, \)

por tener en la diagonal principal todos \( e \). Y con esto queda demostrada la proposición .

Del teorema sobre la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones antes planteadas en mi anterior respuesta se puede ver que en cada fila de la tabla, y en cada columna, no se pueden repetir elementos (más o menos como los sudokus, de hecho creo que los sudokus representan alguna clase de grupos). Con eso se puede encontrar un grupo que demuestre que la proposición es falsa.

Gracias por la comparación Masacroso, pero no logro entender las ecuaciones . Porque si me guío por los elementos que están en la primera fila y columna, entonces \( r=e,x=a \) e \( y=b \) entonces \( r*s=e*a=a \) y \( y*r=b*e=b \), pero \( a\neq b \).

[Luis Fuentes]

Hola

 En general puedes probar que cualquier grupo con un número par de elementos siempre tiene al menos dos de ellos que coinciden con su inverso.

 Supón que el grupo tiene orden \( 2n \). Desde luego el neutro coincide con su inverso.

 Ahora entre los \( 2n-1 \) elementos distantes si ninguno coincide con su inverso podrías agruparlos en parejas \( \{a,a^{-1}\} \); pero entonces \( 2n-1 \) sería par: contradicción.

 Si lo quieres ver para tu caso particular: al menos el neutro \( e \) coincide con su inverso.

 Sea \( a\neq e \). Si no coincide con su inverso entonces sea \( b=a^{-1} \), de forma que \( b^{-1}=a \).

 Queda un tercer elemento distinto del neutro \( c \). Su inverso no puede se ser ni \( e \) (porque \( e^{-1}=e \)), ni \( a \) (porque \( a^{-1}=b \)), ni \( b \) (porque \( b^{-1}=a \)). Por tanto \( c^{-1}=c. \)

Saludos.

[manooooh]

Hola

 En general puedes probar que cualquier grupo con un número par de elementos siempre tiene al menos dos de ellos que coinciden con su inverso.

 Supón que el grupo tiene orden \( 2n \). Desde luego el neutro coincide con su inverso.

 Ahora entre los \( 2n-1 \) elementos distantes si ninguno coincide con su inverso podrías agruparlos en parejas \( \{a,a^{-1}\} \); pero entonces \( 2n-1 \) sería par: contradicción.

 Si lo quieres ver para tu caso particular: al menos el neutro \( e \) coincide con su inverso.

 Sea \( a\neq e \). Si no coincide con su inverso entonces sea \( b=a^{-1} \), de forma que \( b^{-1}=a \).

 Queda un tercer elemento distinto del neutro \( c \). Su inverso no puede se ser ni \( e \) (porque \( e^{-1}=e \)), ni \( a \) (porque \( a^{-1}=b \)), ni \( b \) (porque \( b^{-1}=a \)). Por tanto \( c^{-1}=c. \)

Saludos.

Más claro echale agua .

Saludos

[Masacroso]

Cierto. Ayer había creído encontrar una tabla donde no se cumplía, pero ahora revisándola tenía errores.

[manooooh]

Cierto. Ayer había creído encontrar una tabla donde no se cumplía, pero ahora revisándola tenía errores.

Busqué como 3 ejemplos distintos y siempre se cumplía jajaja, "Quizás debe ser un grupo muy especial que no la cumple", pensé cuando vos subiste la tabla.

Saludos