[FrancoMonse]

Suponga conocida \( \displaystyle\frac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} x^n, \left |{x}\right | <1 \) pruebe las siguientes igualdades.

i) \(  f (x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+2}}{2n+1}, \left |{x}\right | <1 \)

ii)\( \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^n\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^{3n+1}}=\displaystyle\frac{\widetilde{ll}}{6\sqrt[ ]{3}} \)

Para el primer punto sé que debo derivar ambos lados hasta llegar a esa expresión, pero aún no he podido llegar.
Para el segundo ejemplo, no pude entenderlo.

[Luis Fuentes]

Hola

Suponga conocida \( \displaystyle\frac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} x^n, \left |{x}\right | <1 \) pruebe las siguientes igualdades.

i) \(  f (x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+2}}{2n+1}, \left |{x}\right | <1 \)

Aquí no sé que igualdad quieres probar porque no dices quien es \( f(x) \).

Si quieres sumar esa serie nota que:

\( f(x)=xg(x)  \)

con

\( g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \)

\( g'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n=\dfrac{1}{1+x^2} \)

Termina...

ii)\( \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^n\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^{3n+1}}=\displaystyle\frac{\widetilde{ll}}{6\sqrt[ ]{3}} \)

No sé si \( \widetilde{ll} \) quiere decir \( \pi \). En ese caso escribe [tex]\pi[/tex].

Si es ese el significado esa igualdad es falsa.

Saludos.

P.D. Además revisa que el índice que usas en los límites de los sumatorios sea coherente con el que usas en el término que sumas.

[FrancoMonse]

Hola

Suponga conocida \( \displaystyle\frac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} x^n, \left |{x}\right | <1 \) pruebe las siguientes igualdades.

i) \(  f (x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+2}}{2n+1}, \left |{x}\right | <1 \)

Aquí no sé que igualdad quieres probar porque no dices quien es \( f(x) \).

Si quieres sumar esa serie nota que:

\( f(x)=xg(x)  \)

con

\( g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \)

\( g'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n=\dfrac{1}{1+x^2} \)

Termina...

ii)\( \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^n\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^{3n+1}}=\displaystyle\frac{\widetilde{ll}}{6\sqrt[ ]{3}} \)

No sé si \( \widetilde{ll} \) quiere decir \( \pi \). En ese caso escribe [tex]\pi[/tex].

Si es ese el significado esa igualdad es falsa.

Saludos.

P.D. Además revisa que el índice que usas en los límites de los sumatorios sea coherente con el que usas en el término que sumas.

Hola. La primer parte la entendí. En la segunda consigna cómo se llega a algún resultado, es decir, cómo desarrollo esa serie para llegar a su resultado?  Desde ya, muchas gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola. La primer parte la entendí. En la segunda consigna cómo se llega a algún resultado, es decir, cómo desarrollo esa serie para llegar a su resultado?  Desde ya, muchas gracias!

Que yo sepa no puede hallarse esa suma de manera explícita. ¿Seguro que es así el enunciado?.

Tampoco has aclarado que significa \( \widetilde{ll} \).

Por favor se más receptivo a las aclaraciones que te pedimos si quieres ayuda en el foro.

Saludos.

[Abdulai]

.....
ii)\( \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^n\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^{3n+1}}=\displaystyle\frac{\widetilde{ll}}{6\sqrt[ ]{3}} \)
....
Para el segundo ejemplo, no pude entenderlo.

No es para menos, copiaste cualquier verdura.

La identidad es:  \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)\;3^{n+1}}=\dfrac{\pi}{6\sqrt 3}} \)

[Luis Fuentes]

Hola

No es para menos, copiaste cualquier verdura.

La identidad es:  \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)\;3^{n+1}}=\dfrac{\pi}{6\sqrt 3}} \)

Con el enunciado alternativo y cabal indicado por Abdulai basta que apliques el apartado (a) para \( x=1/\sqrt{3} \).

Saludos.