[manooooh]

Hola a todos!
Me dicen que \( (G,\ast) \) es un semigrupo con neutro \( e \). Hay que dar \( \textrm{INV } \mathbb Z_{12} \) y el grupo cociente \( G/H \) si \( H=\langle 7\rangle \).

Los inversibles son \( \{1,5,7,11\} \), pero... ¿cómo hallo el grupo cociente? Sé que el grupo es conmutativo, pero al no saber la operación (suma de clases, producto de clases, ¿?) no sé cómo hallarlo. Además las clases laterales son iguales.

Ni siquiera puedo hacer la tabla porque no sé qué operación es. ¿Acaso faltan datos en el enunciado?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos!
Me dicen que \( (G,\ast) \) es un semigrupo con neutro \( e \). Hay que dar \( \textrm{INV } \mathbb Z_{12} \) y el grupo cociente \( G/H \) si \( H=\langle 7\rangle \).

No entiendo nada. Puede ser que sea porque ese problema esté en un contexto muy concreto de cosas que te han ido definiendo y explicando y que no conozco.

1) ¿Qué tiene que ver \( \textrm{INV } \mathbb Z_{12} \)  con \( G \)?.

2) Dices que  \( H=\langle 7\rangle \), ¿pero es acaso entonces \( G \) un semigrupo de números enteros?. ¿O no tiene nada qué ver \( H \) con \( G \)?.

3) ¿Cómo se define el cociente de un semigrupo?. ¿Exactamente "qué le es \( H \) a \( G \)"?.

Saludos.

[manooooh]

Hola Luis

No entiendo nada. Puede ser que sea porque ese problema esté en un contexto muy concreto de cosas que te han ido definiendo y explicando y que no conozco.

El enunciado es tal cual lo copié. No hay cambios de conceptos con respecto a mis otras preguntas, siempre van en la misma línea, pero este parece que tiene el peor lenguaje para expresarse. Y es un ejercicio de examen final...

Originalmente "Dar \( \textrm{INV } \mathbb Z_{12} \) y el grupo cociente \( G/H \) si \( H=\langle 7\rangle \)" se encuentra como un subejercicio; como "título general" es "Sea \( (G,\ast) \) un semigrupo con neutro \( e \).", y quizás deba ir como punto aparte (o sea que lo del semigrupo podría no ir en este ejercicio). Pero no sé, yo lo copié con el enunciado general.

1) ¿Qué tiene que ver \( \textrm{INV } \mathbb Z_{12} \)  con \( G \)?.

Me olvidé mencionarlo, \( \textrm{INV }G \) es un grupo. Me parece que \( G=\mathbb Z_{12} \).

2) Dices que  \( H=\langle 7\rangle \), ¿pero es acaso entonces \( G \) un semigrupo de números enteros?. ¿O no tiene nada qué ver \( H \) con \( G \)?.

No lo sé porque el enunciado es tal cual lo copié . Ya te digo, me parece que faltan datos, como saber qué operación se establece.

3) ¿Cómo se define el cociente de un semigrupo?. ¿Exactamente "qué le es \( H \) a \( G \)"?.

Tampoco lo sé (x2). ¿Puede ser acaso que haya que dar la partición que genera \( \langle 7\rangle \) en \( \mathbb Z_{12} \)? Pero de vuelta, una cosa sería con \( (G,\overline +) \) y otra con \( (G,\overline \cdot) \), ¿correcto?

De paso me viene bien esta última pregunta que hacés para consultar qué diferencia hay (si la hay, o es puro cuento) entre un grupo cociente y la partición de un ¿elemento generador? que viene a ser un subgrupo (como lo sería el caso de \( \langle 7\rangle \)). Es decir, ¿qué diferencia hay entre estos dos enunciados inventados por mí?:

• "Hallar la partición que determina \( \langle 4\rangle \) en \( (\textrm{INV }\mathbb Z_{15},\overline \cdot) \)";
• "Hallar el grupo cociente que determina \( \langle 4\rangle \) en \( (\textrm{INV }\mathbb Z_{15},\overline \cdot) \)".

P.D.: Dejame agradecerte también por el tiempo que le dedicás a ver mis preguntas en este foro y por la gran ayuda que aportás. Nunca conocí gente que quisiera ayudar a distancia y gratis, algo que mucha gente piensa que no es posible. Pero vos y todo el equipo de moderadores, administradores y usuarios de rinconmatematico lo hace posible .

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Ahora detallo un poco mis críticas, pero me sigue resultando un galimatías el enunciado. ¿No puedes copiar el enunciado completo al pie de la letra tal y como aparece en el examen, de principio a fin?.

Originalmente "Dar \( \textrm{INV } \mathbb Z_{12} \) y el grupo cociente \( G/H \) si \( H=\langle 7\rangle \)" se encuentra como un subejercicio; como "título general" es "Sea \( (G,\ast) \) un semigrupo con neutro \( e \).", y quizás deba ir como punto aparte (o sea que lo del semigrupo podría no ir en este ejercicio). Pero no sé, yo lo copié con el enunciado general.

 \( \textrm{INV } \mathbb Z_{12} \) son los coprimos con \( 12 \). Como dijiste \( \{1,5,7,11\}. \)

 Pero ahora es imposible hallar \( G/H \) si no sabemos quien es \( G \).

Me olvidé mencionarlo, \( \textrm{INV }G \) es un grupo. Me parece que \( G=\mathbb Z_{12} \).

Es que el "me parece" es inadmisible. En el enunciado debe de decir claramente quien es \( G \). Si \( G=\mathbb Z_{12} \) entonces si tiene sentido hallar \( G/H \); lo que pasa es que si \( H=<7>\subset \mathbb Z_{12} \), entonces \( H=G \) ya que \( [7 ] \) es un generador de  \( G=\mathbb Z_{12} \) y entonces \( G/H \) sería el grupo trivial formado sólo por el neutro.

2) Dices que  \( H=\langle 7\rangle \), ¿pero es acaso entonces \( G \) un semigrupo de números enteros?. ¿O no tiene nada qué ver \( H \) con \( G \)?.

Tampoco lo sé (x2). ¿Puede ser acaso que haya que dar la partición que genera \( \langle 7\rangle \) en \( \mathbb Z_{12} \)? Pero de vuelta, una cosa sería con \( (G,\overline +) \) y otra con \( (G,\overline \cdot) \), ¿correcto?

Si hablamos de \( \mathbb Z_{12} \) se entiende que es el grupo con la suma. El grupo multiplicativo (restringido sólo a los unidades) suele denotarse por \( \mathbb Z_{12}^* \) ó \( U(\mathbb Z_{12}) \).

De paso me viene bien esta última pregunta que hacés para consultar qué diferencia hay (si la hay, o es puro cuento) entre un grupo cociente y la partición de un ¿elemento generador? que viene a ser un subgrupo (como lo sería el caso de \( \langle 7\rangle \)). Es decir, ¿qué diferencia hay entre estos dos enunciados inventados por mí?:

• "Hallar la partición que determina \( \langle 4\rangle \) en \( (\textrm{INV }\mathbb Z_{15},\overline \cdot) \)";
• "Hallar el grupo cociente que determina \( \langle 4\rangle \) en \( (\textrm{INV }\mathbb Z_{15},\overline \cdot) \)".

Simplemente el primer enunciado no sería demasido ortodoxo. En general si tienes una relación de equivalencia, determina una partición en el conjunto. Dar el conjunto cociente es describir precisamente los distintos subconjuntos (las clases) que forman esa partición así que es esencialmente lo mismo que dar la partición.

Si todo esto es en el contexto de grupos, el hecho de hablar de grupo cociente indica que no sólo hay que decir quienes son las clases sino también identificar la operación de grupo que hay en ellas; si es posible suele interesar dar un grupo conocido isomorfo al grupo cociente.

Saludos.

[manooooh]

Hola Luis, buen ¿día?

Paso a escribir el enunciado literal y completo:

1) Sea \( (G,\ast) \) un semigrupo con neutro \( e \):
a) Dar la definición de \( \textrm{INV }G \) (inversibles de G)
b) Probar que \( \textrm{INV }G \) es un grupo
c) Dar \( \textrm{INV }\mathbb Z_{12} \) y el grupo cociente \( G/H \) si \( H=\langle 7\rangle \)

Es así . Para el a) escribí que el conjunto \( \textrm{INV }G=\{x\in G\;|\; x'\in G\} \) cuyos elementos tienen simétrico en el conjunto \( G \) con la operación \( \ast \).
Para el b) dije que como \( (G,\ast) \) es semigrupo con neutro \( e \), falta decir que para ser grupo la operación \( \ast \) debe ser cerrada, y esto se cumple, por lo tanto \( (\textrm{INV }G,\ast) \) alcanza la estructura de grupo.
Y el c) lo estoy discutiendo con vos .

Tampoco lo sé (x2). ¿Puede ser acaso que haya que dar la partición que genera \( \langle 7\rangle \) en \( \mathbb Z_{12} \)? Pero de vuelta, una cosa sería con \( (G,\overline +) \) y otra con \( (G,\overline \cdot) \), ¿correcto?

Si hablamos de \( \mathbb Z_{12} \) se entiende que es el grupo con la suma. El grupo multiplicativo (restringido sólo a los unidades) suele denotarse por \( \mathbb Z_{12}^* \) ó \( U(\mathbb Z_{12}) \).

Nunca me explicaron que se entiende que es la suma, ni tampoco que se denota de esa manera. Educación pobre, que lo compenso con este foro.

De paso me viene bien esta última pregunta que hacés para consultar qué diferencia hay (si la hay, o es puro cuento) entre un grupo cociente y la partición de un ¿elemento generador? que viene a ser un subgrupo (como lo sería el caso de \( \langle 7\rangle \)). Es decir, ¿qué diferencia hay entre estos dos enunciados inventados por mí?:

• "Hallar la partición que determina \( \langle 4\rangle \) en \( (\textrm{INV }\mathbb Z_{15},\overline \cdot) \)";
• "Hallar el grupo cociente que determina \( \langle 4\rangle \) en \( (\textrm{INV }\mathbb Z_{15},\overline \cdot) \)".

Simplemente el primer enunciado no sería demasido ortodoxo. En general si tienes una relación de equivalencia, determina una partición en el conjunto. Dar el conjunto cociente es describir precisamente los distintos subconjuntos (las clases) que forman esa partición así que es esencialmente lo mismo que dar la partición.

Si todo esto es en el contexto de grupos, el hecho de hablar de grupo cociente indica que no sólo hay que decir quienes son las clases sino también identificar la operación de grupo que hay en ellas; si es posible suele interesar dar un grupo conocido isomorfo al grupo cociente.

Entendido!!

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Paso a escribir el enunciado literal y completo:

1) Sea \( (G,\ast) \) un semigrupo con neutro \( e \):
a) Dar la definición de \( \textrm{INV }G \) (inversibles de G)
b) Probar que \( \textrm{INV }G \) es un grupo
c) Dar \( \textrm{INV }\mathbb Z_{12} \) y el grupo cociente \( G/H \) si \( H=\langle 7\rangle \)

Es así . Para el a) escribí que el conjunto \( \textrm{INV }G=\{x\in G\;|\; x'\in G\} \) cuyos elementos tienen simétrico en el conjunto \( G \) con la operación \( \ast \).

Bien. A mi me gusta más llamarle inverso que simétrico, pero bien.

Para el b) dije que como \( (G,\ast) \) es semigrupo con neutro \( e \), falta decir que para ser grupo la operación \( \ast \) debe ser cerrada, y esto se cumple, por lo tanto \( (\textrm{INV }G,\ast) \) alcanza la estructura de grupo.

Bien.

Y el c) lo estoy discutiendo con vos .

En el (c) (que efectivamente no está muy bien redactado) entiendo que en el grupo \( (Inv(\mathbb{Z}_{12}),*) \) pide el cociente\(  Inv(\mathbb{Z}_{12}/H \), con \( H=<7> \).

Nota que: \( Inv(\mathbb{Z}_{12}=<1,5,7,11> \). \( 7^2=49=1 \) mod \( 12 \) y así \( H=\{1,7\} \)

El cociente tiene así dos clases \( [1]=\{1,7\} \) y \( [5]=\{5,11\} \) y es isomorfo a \( \mathbb{Z}_2 \).

Saludos.

[manooooh]

Hola

Paso a escribir el enunciado literal y completo:

1) Sea \( (G,\ast) \) un semigrupo con neutro \( e \):
a) Dar la definición de \( \textrm{INV }G \) (inversibles de G)
b) Probar que \( \textrm{INV }G \) es un grupo
c) Dar \( \textrm{INV }\mathbb Z_{12} \) y el grupo cociente \( G/H \) si \( H=\langle 7\rangle \)

Es así . Para el a) escribí que el conjunto \( \textrm{INV }G=\{x\in G\;|\; x'\in G\} \) cuyos elementos tienen simétrico en el conjunto \( G \) con la operación \( \ast \).

Bien. A mi me gusta más llamarle inverso que simétrico, pero bien.

Para el b) dije que como \( (G,\ast) \) es semigrupo con neutro \( e \), falta decir que para ser grupo la operación \( \ast \) debe ser cerrada, y esto se cumple, por lo tanto \( (\textrm{INV }G,\ast) \) alcanza la estructura de grupo.

Bien.

¡Gracias! Voy a tomar esa consideración ("tengo que llamar inverso al simétrico..."). Una pequeña duda, que leí en algunos lados: ¿invertibles o inversibles?

Y el c) lo estoy discutiendo con vos .

En el (c) (que efectivamente no está muy bien redactado) entiendo que en el grupo \( (Inv(\mathbb{Z}_{12}),*) \) pide el cociente\(  Inv(\mathbb{Z}_{12}/H \), con \( H=<7> \).

Nota que: \( Inv(\mathbb{Z}_{12}=<1,5,7,11> \). \( 7^2=49=1 \) mod \( 12 \) y así \( H=\{1,7\} \)

El cociente tiene así dos clases \( [1]=\{1,7\} \) y \( [5]=\{5,11\} \) y es isomorfo a \( \mathbb{Z}_2 \).

¿Entonces el grupo cociente \( {\textrm{INV }\mathbb Z_{12}}/{\langle 7\rangle}=\{\{\overline 1,\overline 7\},\{\overline 5,\overline {11}\}\} \) bajo la operación \( \overline\cdot \)?

Porque si fuera con la suma entonces tendríamos que \( \overline 7\overline +\overline 7=\overline{14}\equiv\overline 2\pmod{12} \), pero \( \overline 2\not\in\textrm{INV }\mathbb Z_{12} \), contradiciendo de que \( \ast \) (en casto caso la suma) sea operación cerrada bajo estas circunstancias, o sea este ejercicio en particular, pues dijimos que alcanzaba la estructura de grupo. ¿Es correcto mi razonamiento?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¿Entonces el grupo cociente \( {\textrm{INV }\mathbb Z_{12}}/{\langle 7\rangle}=\{\{\overline 1,\overline 7\},\{\overline 5,\overline {11}\}\} \) bajo la operación \( \overline\cdot \)?

Porque si fuera con la suma entonces tendríamos que \( \overline 7\overline +\overline 7=\overline{14}\equiv\overline 2\pmod{12} \), pero \( \overline 2\not\in\textrm{INV }\mathbb Z_{12} \), contradiciendo de que \( \ast \) (en casto caso la suma) sea operación cerrada bajo estas circunstancias, o sea este ejercicio en particular, pues dijimos que alcanzaba la estructura de grupo. ¿Es correcto mi razonamiento?

Si, es con la operación producto. Pero no hay que hacer ningún razonamiento para saber de que operación se trata. Debería de ser un dato en que grupo estamos trabajando. Si es \( INV(\mathbb{Z}_{12} \) se sobreentiende que es el producto (con la suma no tenemos ni el neutro cero).

Saludos.

[manooooh]

Hola

Pero no hay que hacer ningún razonamiento para saber de que operación se trata. Debería de ser un dato en que grupo estamos trabajando.

Por eso aclaré para esto ejercicio particular, obviamente no hay que ir suponiendo de qué grupo se trata aunque todas las demás operaciones queden descartadas, si sabemos cuál es.

Si es \( INV(\mathbb{Z}_{12} \) se sobreentiende que es el producto (con la suma no tenemos ni el neutro cero).

Cierto, buena observación.

¿Y qué hay de

(...)
Una pequeña duda, que leí en algunos lados: ¿invertibles o inversibles?
(...)

, cuál preferís? . La palabra "invertible" figura en su D.L.E., y significa "que se puede invertir". Sin embargo muchos usamos (me incluyo) "inversible", el cual no figura en dicho diccionario.

Muchas gracias!

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

, cuál preferís? . La palabra "invertible" figura en su D.L.E., y significa "que se puede invertir". Sin embargo muchos usamos (me incluyo) "inversible", el cual no figura en dicho diccionario.

Preferir, prefiero invertible. Pero creo que en la práctica no me fijo y uso indistintamente las dos.

Saludos.