[Naoj]

Buen día,

Si definimos \( f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R} \) por \( f(x,y) = \frac{x\mid y\mid}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \) si \( (x,y)\not=(0,0) \), o bien, \( f(x,y)=0 \) si \( (x,y)=(0,0) \), queremos probar que \( f \) no es diferenciable en el punto \( (0,0) \).

Por un teorema sabemos que diferenciabilidad implica continuidad, luego como \( f \) no es continua en \( (0,0) \) entonces concluimos que \( f \) no es diferenciable en \( (0,0) \).

Es correcto el razonamiento?

Gracias

[Fernando Revilla]

Por un teorema sabemos que diferenciabilidad implica continuidad, luego como \( f \) no es continua en \( (0,0) \) entonces concluimos que \( f \) no es diferenciable en \( (0,0) \).

Es correcta la propiedad, pero en nuestro caso, \( \dfrac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}=\rho \cos \theta \left|\sin \theta\right| \). Como \( \rho \to 0 \) y \( \cos |\theta\sin \theta| \) está acotado, tenemos que \( \displaystyle\lim_{x \to (0,0)}{f(x,y)}=0 \). i.e. la función es continua en \( (0,0) \). Te puede ser útil el apartado 4 de Diferenciabilidad en varias variables.

[Naoj]

Muchas gracias.