[manooooh]

Hola a todos! El ejercicio pide probar o refutar lo siguiente:

En un Álgebra de Boole: \( \overline{\left(a\vee \overline b\right)}=\left(\overline a\vee b\right)\wedge b\wedge \left(\overline a\vee \overline b\right) \).


En primer lugar simplifiqué el lado derecho de la igualdad para mayor comodidad de la demostración:

\( \left(\overline a\vee b\right)\wedge b\wedge \left(\overline a\vee \overline b\right)=b\wedge \left(\overline a\vee \overline b\right)=\left(b\wedge \overline a\right)\vee \left(b\wedge \overline b\right)=\left(\overline a\wedge b\right)\vee 0_B=\left(\overline a\wedge b\right) \),

por lo que ahora hay que probar la igualdad  \( \overline{\left(a\vee \overline b\right)}=\left(\overline a\wedge b\right) \).

Para esto hay que probar dos cosas:

1) \( \left(\overline a\wedge b\right)\vee (a\wedge b)=1_B \) y

2) \( \left(\overline a\wedge b\right)\wedge (a\wedge b)=0_B \).

Dem.:

1) \( \left(\overline a\wedge b\right)\vee (a\wedge b)=\left(\overline a\vee a\right)\wedge b=1_B\wedge b=1_B \).  (Me parece que está mal, pues \( 1_B\wedge b=b \))

2) \( \left(\overline a\wedge b\right)\wedge (a\wedge b)=\overline a\wedge a\wedge b\wedge b=0_B\wedge b=0_B \).


¿Es correcto?

Gracias!
Saludos

[Ignacio Larrosa]

Hola a todos! El ejercicio pide probar o refutar lo siguiente:

En un Álgebra de Boole: \( \overline{\left(a\vee \overline b\right)}=\left(\overline a\vee b\right)\wedge b\wedge \left(\overline a\vee \overline b\right) \).


En primer lugar simplifiqué el lado derecho de la igualdad para mayor comodidad de la demostración:

\( \left(\overline a\vee b\right)\wedge b\wedge \left(\overline a\vee \overline b\right)=b\wedge \left(\overline a\vee \overline b\right)=\left(b\wedge \overline a\right)\vee \left(b\wedge \overline b\right)=\left(\overline a\wedge b\right)\vee 0_B=\left(\overline a\wedge b\right) \),

por lo que ahora hay que probar la igualdad  \( \overline{\left(a\vee \overline b\right)}=\left(\overline a\wedge b\right) \).

Para esto hay que probar dos cosas:

1) \( \left(\overline a\wedge b\right)\vee (a\wedge b)=1_B \) y

2) \( \left(\overline a\wedge b\right)\wedge (a\wedge b)=0_B \).

Dem.:

1) \( \left(\overline a\wedge b\right)\vee (a\wedge b)=\left(\overline a\vee a\right)\wedge b=1_B\wedge b=1_B \).  (Me parece que está mal, pues \( 1_B\wedge b=b \))

2) \( \left(\overline a\wedge b\right)\wedge (a\wedge b)=\overline a\wedge a\wedge b\wedge b=0_B\wedge b=0_B \).


¿Es correcto?

Gracias!
Saludos

¿Conoces las leyes de De Morgan?

Saludos,

[manooooh]

Hola,

¿Conoces las leyes de De Morgan?

Saludos,

Las conozco, pero el ejercicio en todo caso sería inmediato. Eso es lo que me desconcierta .

Sabemos que en un Álgebra de Boole se cumplen las leyes de De Morgan, pero en este tema (el cual ahora que me doy cuenta lleva el mismo nombre, ¿debo cambiar el título de este hilo?) la demostración no es directa. Entonces pensé dos cosas: o aquél ejercicio debe demostrarse directamente (lo cual no concuerdo porque el profesor lo escribió así), o este ejercicio debe demostrarse analíticamente (me inclino más por este).

¿O debería decir que como se cumplen las leyes de De Morgan entonces \( \overline{\left(a\vee \overline b\right)}\underbrace{=}_{\textrm{De Morgan}}\left(\overline a\wedge \overline{\overline b}\right)=\left(\overline a\wedge b\right) \), así sin más?

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Hola,

¿Conoces las leyes de De Morgan?

Saludos,

Las conozco, pero el ejercicio en todo caso sería inmediato. Eso es lo que me desconcierta .

Sabemos que en un Álgebra de Boole se cumplen las leyes de De Morgan, pero en este tema (el cual ahora que me doy cuenta lleva el mismo nombre, ¿debo cambiar el título de este hilo?) la demostración no es directa. Entonces pensé dos cosas: o aquél ejercicio debe demostrarse directamente (lo cual no concuerdo porque el profesor lo escribió así), o este ejercicio debe demostrarse analíticamente (me inclino más por este).

¿O debería decir que como se cumplen las leyes de De Morgan entonces \( \overline{\left(a\vee \overline b\right)}\underbrace{=}_{\textrm{De Morgan}}\left(\overline a\wedge \overline{\overline b}\right)=\left(\overline a\wedge b\right) \), así sin más?

Saludos

Si ya las has dado y no te indican lo contrario, si.

Saludos,