[MainOwner]

Buenas noches

¿Puede echarme una mano alguien con este ejercicio?
Me piden calcular el dominio de convergencia, y decir si la convergencia es cuasi uniforme en dicho dominio
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n}\left(\frac{2z-i}{2+iz}\right)^n} \)
Para resolverlo utilizo este teorema:
Sea \( R=\displaystyle\frac{1}{lim sup \sqrt[n ]{\left |{a_{n}}\right |}} \)
\( i) \) La serie de potencias \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{a_{n}z^{n}} \) converge absolutamente y cuasi uniformemente en el interior del círculo de centro 0 y radio R.
\( ii) \) La serie no converge en ningún punto del exterior de dicho círculo.
Entonces, si \( t=\frac{2z-i}{2+iz} \). Aplico el teorema \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n}t^n} \)
\( R=\displaystyle\frac{1}{lim sup\sqrt[n ]{\left |{\displaystyle\frac{1}{n}}\right |}} \). Luego \( R=1 \)
Por lo tanto, se tiene que si \( \left |{t}\right |<1 \) converge, y si \( \left |{t}\right |>1 \) no converge.
Faltaría estudiar los valores de la frontera, cuando \( \left |{t}\right |=1 \), donde obtendría la serie armónica que es divergente.

Mi pregunta es si voy bien encaminado.
He evaluado la serie con WolframAlpha y se obtiene que converge cuando \( \left |{\displaystyle\frac{2z-i}{iz+2}}\right |\leq{1}\wedge \displaystyle\frac{3}{z-2i}\neq{1+2i} \). Que no coincide con lo que obtengo.
Muchas gracias.
Un saludo.

[delmar]

Hola

Desconozco  la idea de convergencia cuasi  uniforme. Pero si puedo ayudarte respecto al dominio de convergencia. Una serie converge, si  converge absolutamente, esto se puede averiguar utilizando el criterio de D’Lambert , considerando \( t=\displaystyle\frac{2z-i}{2+iz} \), la serie adopta la forma \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n} \), donde \( a_n=\displaystyle\frac{t^n}{n} \),  se tiene :

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\left |{a_{n+1}}\right |}{\left |{a_n}\right |}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\left |{t}\right |}{1+\displaystyle\frac{1}{n}}}=\left |{t}\right | \)

El criterio dice que :

si \( \left |{t}\right |<1 \) converge

si \( \left |{t}\right |>1 \) diverge

Se demuestra que \( \left |{t}\right |=\left |{z}\right | \), de acá se deduce que en efecto la serie converge para z interior al círculo de radio 1 con centro en el origen y diverge para z exterior.

Cuando \( \left |{t}\right |=1=\left |{z}\right | \) el criterio no decide.

Los complejos que tienen módulo 1 son de la forma : \( t=e^{i \theta}, \ \theta \in{[0,2 \pi)} \), en consecuencia la serie adopta la forma : \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{e^{in \theta}}{n}} \), esto se puede analizar .

La serie : \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{e^{in \theta}} \) es una serie, cuya sucesión de sumas parciales esta acotada,  cuando \( \theta \neq{0} \), se puede demostrar.

\( \displaystyle\frac{1}{n} \) es una sucesión decreciente de reales que converge a cero.

El teorema de Dirichlet dice en este caso, que para \( \theta\neq{0} \) la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{e^{in \theta}}{n}} \) converge.

Finalmente hay que relacionar los \( \theta \) con los z para determinar en que puntos de la circunferencia \( \left |{z}\right |=1 \) converge y diverge. Esto es sencillo, el \( \theta=0 \) se corresponderá con la serie armónica.

Saludos

[MainOwner]

Hola:
no veo que \( \left |{z}\right |=\left |{t}\right | \)
¿Que quieres decir con relacionar la \( \theta \) con la \( z \)?

Para la convergencia cuasi-uniforme
Sea \( R=\displaystyle\frac{1}{lim sup \sqrt[n ]{\left |{a_{n}}\right |}} \)
\( i) \) La serie de potencias \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{a_{n}z^{n}} \) converge absolutamente y cuasi uniformemente en el interior del círculo de centro 0 y radio R.
Luego converge cuasi-uniformemente en el interior del círculo de radio 1. Me faltaria ver que ocurre fuera del disco y en las fronteras

Un saludo.

[delmar]

Me explico,  \( \left |{t}\right |<1\Leftrightarrow{\left |{\displaystyle\frac{2z-i}{2+iz}}\right |<1}\Leftrightarrow{\left |{2z-i}\right |^2<\left |{2+iz}\right |^2} \) Inec. 1

z es un número complejo, por definición : \( z=x+iy \), sustituyendo en la Inec. 1, y operando se llega : \( x^2+y^2<1\Leftrightarrow{\left |{z}\right |<1} \), de la misma forma se demuestra que \( \left |{t}\right |>1\Leftrightarrow{\left |{z}\right |>1} \) y que \( \left |{t}\right |=1\Leftrightarrow{\left |{z}\right |=1} \). Por lo tanto :
La serie converge puntualmente cuando \( \left |{z}\right |<1 \), z interior al círculo unitario centro en el origen.

La serie diverge puntualmente cuando \( \left |{z}\right |>1 \), z exterior al círculo unitario.

Y el criterio D'Lambert no decide cuando \( \left |{z}\right |=1 \), el criterio no decide en la circunferencia unitaria. La convergencia en estos puntos ha de averiguarse, y eso es lo que se ha hecho.

AÑADIDO

He de remarcar que estoy hablando de la convergencia puntual de la serie, quizás esto te ayude, al teorema que mencionas lo desconozco, prosiguiendo para resolver las inquietudes :

Hola:
no veo que \( \left |{z}\right |=\left |{t}\right | \)
¿Que quieres decir con relacionar la \( \theta \) con la \( z \)?

Para la primera interrogante ya he explicado que se trata de una equivalencia \( \left |{t}\right |<1\Leftrightarrow{\left |{z}\right |<1}, \ \left |{t}\right |>1\Leftrightarrow{\left |{z}\right |>1}, \ \left |{t}\right |=1\Leftrightarrow{\left |{z}\right |=1} \), en lugar de una igualdad (ligereza de mi parte).

Para la segunda pregunta : El criterio no decide cuando \( \left |{t}\right |=1\Leftrightarrow{t=e^{i \theta}, \ \theta\in{[0,2 \pi)}} \); `por eso se analiza para \( t=e^{i \theta}, \ \theta\in{[0,2 \pi)} \) y se concluye que la serie converge cuando  \( \theta\neq{0} \); pero \( t=\displaystyle\frac{2z-i}{2+iz}\Leftrightarrow{e^{i \theta}=\displaystyle\frac{2z-i}{2+iz}} \), de acá para cada \( e^{i \theta} \) se puede despejar z, para  el único  \( \theta \) en que puede haber divergencia es para \( \theta=0\Rightarrow{t=e^{i0}=1} \), en este caso se trata de la serie armónica (diverge), para el resto de puntos converge.

Saludos

[MainOwner]

Entendido, muchas gracias delmar.
Ahora solo me faltaría si alguien me pudiese ayudar con la convergencia cuasi-uniforme (convergencia uniforme en compactos)
Creo que quedaría probado que converge cuasi-uniformemente en el interior del círculo de centro 0 y radio 1. Pero me faltaría por ver que ocurre fuera, en la circunferencia.

Un saludo