[Vickivictoria]

¿Es continua en \( x=2 \)?

\( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-x}-\sqrt[ ]{2+x^2}}{5x} \)

Para que sea continua una función en un punto cualquiera debe existir la función en ese punto y ser igual a sus límites laterales?
 En este caso  al evaluar la función en \( x=2 \) me da como resultado \( \displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{2}}{10} \)
Es correcto? Si me da un numero con raíz exite la función?

[Juan Pablo Sancho]

En este caso si \(  x > 2  \) tenemos que \( \sqrt{2-x}  \) no tiene sentido en los reales debes calcular:

\( \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \dfrac{\sqrt{2-x}- \sqrt{2+x^2}}{5 \cdot x}  \) que no da lo que dices.

Spoiler

El límite es \(  -\dfrac{\sqrt{6}}{10}  \)

[cerrar]

[Vickivictoria]

El dominio de la función es \( (-\infty , 2] \)

Debería calcular el límite cuando x tiende a 2 por izquierda y por derecha.
En este caso por derecha no, porque un numero mayor a 2 no esta incluido en el dominio?

[Juan Pablo Sancho]

Si exacto, es lo que puse aquí:

\( \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \dfrac{\sqrt{2-x}- \sqrt{2+x^2}}{5 \cdot x}  \) que no da lo que dices.

Editado

Aunque el dominio de la función es \(  (-\infty,2] \setminus \{0\}  \)

[Ignacio Larrosa]

Si exacto, es lo que puse aquí:

\( \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \dfrac{\sqrt{2-x}- \sqrt{2+x^2}}{5 \cdot x}  \) que no da lo que dices.

Editado

Aunque el dominio de la función es \(  (-\infty,2] \setminus \{0\}  \)

Se puede decir que es continua por la izquierda en \( x = 2 \), ya que está definida como f\( (2) = -\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{10} \),  existe el límite lateral izquierdo y coincide con ese valor. Como no existe el límite lateral derecho, no puede ser continua por la derecha, ni simplemente continua.