[Frankie]

Hola,

Un nuevo problema de álgebra que dice así;

Calcula las tres últimas cifras de \( 16^{3152} \) en base 3.

Tengo algo de idea de por dónde empezar, pero no sé cómo seguir...

¡Gracias de antemano!

[Luis Fuentes]

Hola

Un nuevo problema de álgebra que dice así;

Calcula las tres últimas cifras de \( 16^{3152} \) en base 3.

Tengo algo de idea de por dónde empezar, pero no sé cómo seguir...

Sería buen que hubieses dicho como has empezado y a partir de donde no sabes seguir.

Sea como sea en general nota que las \( n \) últimas cifras de un número en base \( b \) sólo dependen de su resto módulo \( b^n \).

Spoiler

Por ejemplo:

- La última cifra en base \( 10 \) depende de su resto módulo \( 10 \).
- La últimas dos cifras en base \( 10 \) depende de su resto módulo \( 10^2=100. \)

[cerrar]

Entonces calcula \( 16^{3152} \) mod \( 3^3 \). Para ello aplica el Teorema de Euler.

Saludos.

[Frankie]

Hola Luis,

Gracias una vez más por la pronta respuesta. No estoy seguro de cómo proceder. Como 16 no es primo, ¿cómo hago para aplicar la función \( \varphi \) de Euler? ¿Tendría que hacer algo como \( (2^4)^{\varphi{(3152)}} \) mod \( 3^3 \)?

El libro que tenemos de la asignatura es desastroso y viene muy mal explicado, y los vídeos de YouTube tampoco ayudan en estos casos particulares.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias una vez más por la pronta respuesta. No estoy seguro de cómo proceder. Como 16 no es primo, ¿cómo hago para aplicar la función \( \varphi \) de Euler? ¿Tendría que hacer algo como \( (2^4)^{\varphi{(3152)}} \) mod \( 3^3 \)?

Lo que necesitas para aplicar el Teorema de Euler: \( a^{\varphi(n)}=1 \) mod \( n \) es que \( a \) y \( n \) sean coprimos.

En tu caso \( a=16 \) y \( n=3^3=27 \) son coprimos; puedes aplicarlo.

Tienes:

\( \varphi(27)=\varphi(3^3)=(3-1)3^2=18 \)

Por tanto \( 16^{18}=1 \) mod \( 27 \) y así:

\( 16^{3152}=16^r \) mod \( 27 \)

donde \( r \) es el resto de dividir \( 3152 \) por \( 18 \).

Continúa...

Saludos.

[Frankie]

Gracias una vez más Luis. Por si alguien quiere comprobar, el resultado en base 3 es 111.