[Frankie]

El ejercicio es el siguiente;

Dada la ecuación \( 9257x + 8610y = 10 \), di si tiene solución y en caso afirmativo, calcula aquella cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Con el algoritmo extendido de Euclides he obtenido que el \( mcd(9257,8610) = 1 \) y los coeficientes de Bezout son \( x=173 \) e \( y=-186 \). El problema viene en la segunda parte del problema, no sé cómo proceder para encontrar una solución cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Gracias de antemano.

[robinlambada]

Hola.

El ejercicio es el siguiente;

Dada la ecuación \( 9257x + 8610y = 10 \), di si tiene solución y en caso afirmativo, calcula aquella cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Con el algoritmo extendido de Euclides he obtenido que el \( mcd(9257,8610) = 1 \) y los coeficientes de Bezout son \( x=173 \) e \( y=-186 \). El problema viene en la segunda parte del problema, no sé cómo proceder para encontrar una solución cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Gracias de antemano.

Has hecho lo más dificil. Solo te falta poner la solución general e imponer \( x+y=1000
 \)
Es decir.

Tienes una solución particular: \( 9257\cdot{}173 + 8610\cdot{}(-186) = 1\Leftrightarrow{}9257\cdot{}1730 + 8610\cdot{}(-1860) = 10 \)

Solución particular \( (1730,-1860) \)

La general, es la solución general de la ec. homogénea más una solución particular de la no homogénea.

Por ello \( \begin{cases}x=-8610t+1730 \\y=9257t-1860\end{cases} \)

Solo tienes que imponer \( x+y=1000 \)

Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Hola.

El ejercicio es el siguiente;

Dada la ecuación \( 9257x + 8610y = 10 \), di si tiene solución y en caso afirmativo, calcula aquella cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Con el algoritmo extendido de Euclides he obtenido que el \( mcd(9257,8610) = 1 \) y los coeficientes de Bezout son \( x=173 \) e \( y=-186 \). El problema viene en la segunda parte del problema, no sé cómo proceder para encontrar una solución cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Gracias de antemano.

Has hecho lo más dificil. Solo te falta poner la solución general e imponer \( x+y=1000
 \)
Es decir.

Tienes una solución particular: \( 9257\cdot{}173 + 8610\cdot{}(-186) = 1\Leftrightarrow{}9257\cdot{}1730 + 8610\cdot{}(-1860) = 10 \)

Solución particular \( (1730,-1860) \)

La general, es la solución general de la ec. homogénea más una solución particular de la no homogénea.

Por ello \( \begin{cases}x=-8610t+1730 \\y=9257t-1860\end{cases} \)

Solo tienes que imponer \( x+y=1000 \)

Saludos.

Para visualizarlo:


Saludos,

[Frankie]

Has hecho lo más dificil. Solo te falta poner la solución general e imponer \( x+y=1000
 \)
Es decir.

Tienes una solución particular: \( 9257\cdot{}173 + 8610\cdot{}(-186) = 1\Leftrightarrow{}9257\cdot{}1730 + 8610\cdot{}(-1860) = 10 \)

Solución particular \( (1730,-1860) \)

La general, es la solución general de la ec. homogénea más una solución particular de la no homogénea.

Por ello \( \begin{cases}x=-8610t+1730 \\y=9257t-1860\end{cases} \)

Solo tienes que imponer \( x+y=1000 \)

Saludos.

Hola robinlambada,

Gracias por la pronta respuesta. He hecho los cálculos forzando a que se cumpliese que \( x+y=1000 \) y me ha salido como solución \( t=870/647 \). ¿Qué hago con esa solución? ¿Sustituyo \( t \) en cada ecuación y de ahí saco los valores de \( x \) e \( y \)?

Para visualizarlo:


Saludos,

¡Gracias Ignacio!

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias por la pronta respuesta. He hecho los cálculos forzando a que se cumpliese que \( x+y=1000 \) y me ha salido como solución \( t=870/647 \). ¿Qué hago con esa solución? ¿Sustituyo \( t \) en cada ecuación y de ahí saco los valores de \( x \) e \( y \)?

Pero ten en cuenta que \( t \) tiene que ser entero. Dado que \( x+y \) es una función creciente en \( t, \) lo que deduces es que el valor más próximo a \( 1000 \) se alcanza o bien cuando \( t=[870/647]=1 \) ó bien \( t=[870/647]+1=2 \). Comprueba cual de los dos se acerca más. Esto lo verás muy bien en el gráfico de Ignacio.

Saludos.

P.D. \( [x ] \) denota la función parte entera.

[Frankie]

Es cierto Luis, no había tenido en cuenta esa consideración y es cierto que para \( t=2 \) el valor de \( x+y \) es más próximo a 1000 que para \( t=1 \). Muchas gracias por la aclaración.