[Cecilia]

Hola, a ver si alguien puede echarme una mano con este problema:
Determinar la forma canónica de Jordan, J, de un endomorfismo f que respecto de una base \( B=\{v_1,v_2, v_3 , v_4, v_5 \} \) cumple:
(1) \(  f (v_1 ) =-v_1 \)
(2) \( f (v_5 ) =-v_1 \)
(3) \( f (v_2 -v_3 ) = v_3 - v_2  \)
(4) \(  Ker(f -2Id) \neq{ Ker (f-2Id)^2}= \{x_1 +x_2 -x_3 =0 ,x_1 +x_4 =0, x_5 =0\} \)
Obtenga una base de Jodan B' tal que \( M_{B'} (f) = J \)
Obtenga dos planos invariantes por f : uno que contenga sólo dos rectas invariantes y otro que contenga infinitas rectas invariantes.

Gracias!

[Masacroso]

Del punto (1) sabes que -1 es un valor propio de f. Del punto (2) y el (1) sabes que 0 es un valor propio de f (ya que \( f(v_1-v_5)=0 \)). Del punto (3) sabes que la multiplicidad de -1 es al menos 2 (ya que \( v_2-v_3 \) es linealmente independiente de \( v_1 \)). Del punto (4) sabes que 2 es un valor propio de f con multiplicidad al menos 2, sin embargo no me queda claro que son los \( x_k \).

Si los \( x_k \) en verdad fuesen \( v_k \) entonces la dimensión de \( \ker(f-2I)^2 \) sería 3, lo cual es imposible sabiendo que

\( \displaystyle\Bbb R^5\supset\ker(f-2I)^2\oplus\ker(f)\oplus\ker(f+I)\supset\Bbb R^6 \)

Habría que aclarar esto. Asumiendo que la dimensión de \( \ker(f-2I)^5 \) fuese 2 entonces ya sabríamos qué forma tiene una matriz de Jordan de f, quedaría por ver qué forma tiene f o, de entre los cuatro puntos, hallar una base de Jordan a partir de los valores propios de f.


EDICIÓN: ah, vaya empanada que tengo... los \( x_k \) se refieren a las coordenadas de los puntos. Es decir, los vectores de los puntos que pertenecen a \( \ker(f-2I)^2 \) son de la forma \( (x_1,x_2,x_1+x_2,-x_1,0) \), por tanto los vectores \( (1,0,1,-1,0) \) y \( (0,1,1,0,0) \) son una base de \( \ker(f-2I)^2 \) por lo cual tiene dimensión 2.

Entonces el polinomio característico de f es \( p(x)=x(x-2)^2(x+1)^2 \), por lo cual

\( \displaystyle J=\begin{bmatrix}0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{bmatrix} \)

es una de las posibles matrices de Jordan de f, ya que \( \Bbb R^5=\ker(f)\oplus\ker(f+I)\oplus\ker(f-2I)^2 \). Para hallar B' debemos hallar una base de Jordan de cada espacio invariante a partir de vectores propios generalizados. De los tres primeros valores de la diagonal sabemos que la base B' comienza con los vectores \( v_5,v_1,v_2-v_3 \), sólo nos queda por determinar una base de Jordan del subespacio invariante \( \ker(f-2I)^2 \).

De la discusión de arriba sabemos que una base de ese espacio viene dada por \( x:=v_1+v_3-v_4 \) y \( y:=v_2+v_3 \), y como \( \ker(f-2I)\neq\ker(f-2I)^2 \) entonces o bien \( x \) es un vector propio de 2 o bien lo es \( y \), pero no ambos. Si lo fuese \( x \) tendríamos que \( (f-2I)y=x \), y viceversa. Quedaría determinar cuál es cual y luego ver si la base \( x,y \) (o la base \( y,x \)) corresponde a una base de Jordan (ahora mismo no tengo muy claro de cómo debería seguir).

CORREGIDO: leer lo que pone Luis abajo.

[Luis Fuentes]

Hola
 
 Con estos datos no hay manera de saber cual es una base de Jordan.

 No hay manera de saber cual es el autovector asociado al \( 2 \). Lo único que sabemos es que tal autovector está en el subespacio invariante:

\( \langle v_1+v_3-v_4,v_2+v_3 \rangle \)

 Si se quiere ver más claro, si consideramos la base:

\( B'=\{u_1,u_2,u_3,u_4,u_5\}=\{v_1-v_5,v_1,v_2-v_3,v_1+v_3-v_4,v_2+v_4\} \)

 Las condiciones 1,2,3 equivalen a que:

\(  f(u_1)=0,\quad f(u_2)=u_2,\quad f(u_3)=u_3 \)
 
 y la última condición que el endomorfismo restringido a \( <u_4,u_5> \) tiene al \( 2 \) como único autovalor con multiplicidad algebraica \( 2 \) y geométrica \( 1 \). Pero podemos tomar cualquier vector en \( <u_4,u_5> \) y construir un endomorfismo que lo tenga como autovector asociado al \( 2 \) y cumpla todas las condiciones descritas.

Saludos.

P.D.

De la discusión de arriba sabemos que una base de ese espacio viene dada por \( x:=v_1+v_3-v_4 \) y \( y:=v_2+v_3 \), y como \( \ker(f-2I)\neq\ker(f-2I)^2 \) entonces o bien \( x \) es un vector propio de 2 o bien lo es \( y \), pero no ambos. Si lo fuese \( x \) tendríamos que \( (f-2I)y=x \), y viceversa. Quedaría determinar cuál es cual y luego ver si la base \( x,y \)

Como he dicho antes no tendría por que se el vector propio ninguno de los dos; simplemente cualquier combinación lineal de ambos.

[Masacroso]

De la discusión de arriba sabemos que una base de ese espacio viene dada por \( x:=v_1+v_3-v_4 \) y \( y:=v_2+v_3 \), y como \( \ker(f-2I)\neq\ker(f-2I)^2 \) entonces o bien \( x \) es un vector propio de 2 o bien lo es \( y \), pero no ambos. Si lo fuese \( x \) tendríamos que \( (f-2I)y=x \), y viceversa. Quedaría determinar cuál es cual y luego ver si la base \( x,y \)

Como he dicho antes no tendría por que se el vector propio ninguno de los dos; simplemente cualquier combinación lineal de ambos.

Cierto. Otro camino, más tortuoso, que se me ha ocurrido es hallar una matriz, llamémosla A, de f en base B a partir de los puntos dejados en el ejercicio que definen 5 ecuaciones (no lineales) con 5 incógnitas, es decir

\( \displaystyle Av_1=-v_1,\, Av_5=-v_1,\, A(v_2-v_3)=v_3-v_2,\, (A-2I)^2(v_2+v_3)=0,\, (A-2I)^2(v_1+v_3-v_4)=0 \)

Digo "5 incógnitas" porque para determinar \( A \) es suficiente con saber a qué vectores corresponden los \( Av_k \). Pero no tengo una idea clara si tal sistema es resoluble o de cómo tratar de resolverlo.

[Cecilia]

Muchas gracias! Y con respecto a los planos invariantes? Tendría que hallar Ker(J), Ker(J-id) y Ker(J-2id)?? En ese caso me salen dos rectas invariantes y un plano invariante...El plano invariante seria el que contiene dos rectas invariantes y el plano formado por las dos rectas invariantes el que contiene infinitas?? Gracias de nuevo.

[Masacroso]

Muchas gracias! Y con respecto a los planos invariantes? Tendría que hallar Ker(J), Ker(J-id) y Ker(J-2id)?? En ese caso me salen dos rectas invariantes y un plano invariante...El plano invariante seria el que contiene dos rectas invariantes y el plano formado por las dos rectas invariantes el que contiene infinitas?? Gracias de nuevo.

Me imagino que por plano te refieres a un subespacio invariante de dos dimensiones. Por ejemplo tenemos que Pues arriba ya tienes especificado los únicos dos que existen, que son \( \ker(f+I) \) y \( \ker(f-2I)^2 \) son dos subespacios invariantes de dimensión 2. Es decir: la matriz de Jordan es una de las formas en las que se puede describir \( f \) a través de sus subespacios invariantes, que son sus espacios propios generalizados. Inspeccionando J puedes ver que los primeros tres valores de la diagonal definen tres subespacios invariantes de dimensión 1 cada uno de ellos. También el cuarto valor de la diagonal define un subespacio invariante de dimensión 1. Entonces cualquier par de estos subespacios invariantes define un subespacio invariante de dimensión 2. Además tenemos que el último bloque de la diagonal define un subespacio de dimensión 2, el cual corresponde a \( \ker(f-2I)^2 \).

CORREGIDO Y AMPLIADO.

[Luis Fuentes]

Hola

Cierto. Otro camino, más tortuoso, que se me ha ocurrido es hallar una matriz, llamémosla A, de f en base B a partir de los puntos dejados en el ejercicio que definen 5 ecuaciones (no lineales) con 5 incógnitas, es decir

\( \displaystyle Av_1=-v_1,\, Av_5=-v_1,\, A(v_2-v_3)=v_3-v_2,\, (A-2I)^2(v_2+v_3)=0,\, (A-2I)^2(v_1+v_3-v_4)=0 \)

Digo "5 incógnitas" porque para determinar \( A \) es suficiente con saber a qué vectores corresponden los \( Av_k \). Pero no tengo una idea clara si tal sistema es resoluble o de cómo tratar de resolverlo.

Pero da igual como lo enfoques. Lo que he mostrado en mi anterior mensaje es que hay infinitos endomorfismos en las condiciones descritas; y cualquier elección de cualquier vector en el espacio invariante asociado al dos es válida (coherente con todos los datos del enunciado) como autovector asociado al dos.

Muchas gracias! Y con respecto a los planos invariantes? Tendría que hallar Ker(J), Ker(J-id) y Ker(J-2id)?? En ese caso me salen dos rectas invariantes y un plano invariante...El plano invariante seria el que contiene dos rectas invariantes y el plano formado por las dos rectas invariantes el que contiene infinitas?? Gracias de nuevo.

El que contiene infinitas rectas invariantes tiene que estar generado por dos autovectores asociados al mismo autovalor, es decir, tienes que ser el subespacio característico asociado al \( 1 \): \( \langle v_1,v_2-v_3\rangle
 \).

Saludos.