[Quema]

Si tengo \( X,Y,Z \)tres v.a. idénticamente distribuidas. Sea \( f \)una función real creciente y cóncava. Dado \( a_i\in{}(0,1) \). ¿Es cierto que
\( Ef(a_1X+a_2Y+a_3Z)=Ef(a_2X+a_1Y+a_3Z)=Ef(a_3X+a_2Y+a_1Z) \)?

[Luis Fuentes]

Hola

 No tiene porqué. Intenta buscar un contrajemplo concreto. La idea es que si la función \( f \) es cuadrática al desarrolar puedes involucrar a la covarianza de \( X,Y,Z \). Esta depende del grado de dependencia de las tres variables. Como te dije en el otro post, pueden ser idénticamente distribuidas pero tener diferentes relaciones de dependencia.

Saludos.

[Quema]

A ver me parece que las esperanzas son iguales, Por ejemplo para el caso de dos variables.

\( Eu(aX_1+(1-a)X_2)=\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\int_{a}^{b}u(ax_1+(1-a)x_2)f(x_1,x_2)dx_1dx_2 \)
=\( \displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\int_{a}^{b}u((1-a)x_1+ax_2)f(x_1,x_2)dx_1dx_2 \)
Pues \( u(ax_1+(1-a)x_2)=u((1-a)x_1+ax_2) \) al ser idénticamente distribuidas, cierto?
para el caso de tres o más variables el razonamiento debería ser similar, no?

[Luis Fuentes]

Hola

No, que sean idénticamente distribuidas no significa que:

\( u(ax_1+bx_2)=u(bx_1+ax_2) \)

El problema es que su comportamiento respecto a la distribución conjunta no tiene porque ser simétrico. Eso sería si fuesen... eso que preguntaste en otro post en inglés (¿intercambiables era?  ).

Saludos.

[Quema]

Te entiendo, pero me da dudas, pues el dominio de las variables aleatorias es igual y por tanto \( ax_1+bx_2=bx_1+bx_2 \) cierto? entonces \( u(ax_1+bx_2)=u(bx_1+bx_2) \). Ahora la función de distribución conjunta debería ser la misma en ambos casos, no? A lo que supongo contestarás no tiene por qué.

[Luis Fuentes]

Hola

 Es que el decir \( ax_1+bx_2=bx_1+ax_2 \) es confuso. ¿Qué quieren decir esos números?. Cuando calculas las integrales tienes:

\( E(u(ax_1+bx_2))=\displaystyle\int\displaystyle\int u(ax_1+bx_2)f(x_1,x_2)dx_1dx_2 \) (I)
 
\( E(u(bx_1+ax_2))=\displaystyle\int\displaystyle\int u(bx_1+ax_2)f(x_1,x_2)dx_1dx_2 \) (II)

que sean idénticamente distribuidas con precisión lo que significa es que:

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,x_2)dx_2=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x_1,x)dx_1 \)

¿De ahí se deduce que (I)=(II)?. No lo veo. Por eso digo que "no tiene porqué". No veo ningún motivo para que sea cierto.

Ten en cuenta que:

- si una afirmación matemática es cierta: la probamos.
- se es falsa: para convecernos buscamos un contrajemplo.

Hasta que no encuentre ese contraejemplo concreto, solo puedo decir con seguridad el "no tiene porqué".

Por eso te invito a que busques tu el contraejemplo, o en su defecto, una batería de ejemplos no \( triviales \) donde tu igualdad si funcione. En ese caso quizá empezaría a sospechar que puede que sea cierta.

Con ejemplos no triviales me refiero a que tomes distribuciones \( f(x,y) \) no simétricas en \( x \) e \( y \) pero que si den lugar a distribuciones idénticas de las correspondientes variables. Además una función \( u \) que no sea ni lineal ni cuadrática (para dos variables con las cuadráticas creo que si es fácil ver que es cierto).

Saludos.

[Quema]

Si tienes una distribución Bernoulli \( X=1 \) con probabilidad \( p \) y \( X=0 \). Si hago \( y=ax_1+bx_2+cx_3 \)el resultado será igual a \( 0,a,b,c,a+b,a+c,c+b,a+b+c \), cierto. Entonces la \( P(y=a+b+c)=P(X_1=1,X_2=1,X_3=1) \). Entonces ahi se puede encontrar un contraejemplo donde por ejemplo, \( P(y=a+b)=P(X_1=1,X_2=1,X_3=0) \) suponer independencia en un caso y dependencia en otro y no tiene pq ser igual. Y de ahí luego utilizar la función \( u \)

[administrador]

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[Quema]

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