[Frankie]

Hola, un ejercicio sobre conjunto cociente que dice así:

Sobre el conjunto \( \mathbb{R} x \mathbb{R} \) definimos la relación \( (a,b) R (c,d) \) si \( a^2+b^2=c^2+d^2 \). Describir el conjunto cociente y dar una interpretación geométrica del mismo.

Tengo una ligera idea de cómo hacerlo. Es más, he encontrado este ejercicio parecido resuelto por internet pero llega a unas conclusiones muy raras que no llego a entender. Espero que me puedan ayudar.

Gracias de antemano.

[Masacroso]

El conjunto cociente se define como \( \Bbb R\times\Bbb R/R \), y viene dado por las clases de equivalencia dadas por el cuadrado de la norma euclídea, es decir, la norma euclidea se define en \( \Bbb R^2 \) como\( \|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2} \), entonces \( (x,y)R(a,b)\iff \|(x,y)\|^2=\|(a,b)\|^2 \) lo que equivale a decir que \( \|(x,y)\|=\|(a,b)\| \) ya que las normas son no-negativas por definición.

Entonces el conjunto cociente \( \Bbb R^2/R \) no es más que el conjunto \( [0,\infty) \), es decir, el conjunto de normas (al cuadrado) posibles en \( \Bbb R^2 \).

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, un ejercicio sobre conjunto cociente que dice así:

Sobre el conjunto \( \mathbb{R} x \mathbb{R} \) definimos la relación \( (a,b) R (c,d) \) si \( a^2+b^2=c^2+d^2 \). Describir el conjunto cociente y dar una interpretación geométrica del mismo.

Tengo una ligera idea de cómo hacerlo. Es más, he encontrado este ejercicio parecido resuelto por internet pero llega a unas conclusiones muy raras que no llego a entender. Espero que me puedan ayudar.

Sería bueno que especificases las dudas concretas.

Una reformulación de lo que te dicho masacroso: fíjate que dos puntos \( (a,b) \) y \( (c,d) \) están relacionados si su distancia al origen es la misma, es decir, si están en la misma circunferencia centrada en el origen.

Por tanto las clases de equivalencia son las circunferencias con centro el origen. El conjunto cociente es el conjunto de tales circunferencias.

Saludos.

[Frankie]

Hola a ambos,

Una reformulación de lo que te dicho masacroso: fíjate que dos puntos \( (a,b) \) y \( (c,d) \) están relacionados si su distancia al origen es la misma, es decir, si están en la misma circunferencia centrada en el origen.

Eso es lo que no consigo entender, Luis. Al mirar este ejercicio ni se me pasó por la cabeza que tendría que tener en cuenta lo de la circunferencia o lo de la distancia al origen... Es por eso que no entiendo el procedimiento en sí, ni lo que ha dicho Masacroso.

[Luis Fuentes]

Hola

Eso es lo que no consigo entender, Luis. Al mirar este ejercicio ni se me pasó por la cabeza que tendría que tener en cuenta lo de la circunferencia o lo de la distancia al origen... Es por eso que no entiendo el procedimiento en sí, ni lo que ha dicho Masacroso.

Antes de nada: no hay un procedimiento mecánico para identificar o  interpretar geométricamente un conjunto cociente; es razonable que se no tienes práctica no se te pase de buenas a primera por la cabeza la interpretación geométrica.

Cosa distinta es una vez explicada, entenderla.

Dime que no entiendes:

1) En general si tienes una relación de equivalencia en un conjunto \( A \), la clase de equivalencia de un elemento \( a \) es el conjunto formado por  todos los elementos relacionados con él.
2) En particular no olvides que cada clase de equivalencia es un subconjunto de \( A \).
3) Por tanto en nuestro caso cada clase de equivalencia será un subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \), es decir, del plano: un conjunto de puntos.
4) En particular la clase de equivalencia de un punto \( (a,b) \) es:

\( \{(x,y)\in \mathbb{R^2}|(x,y)\}=\{(x,y)\in \mathbb{R^2}|x^2+y^2=a^2+b^2\} \)

5) La ecuación de la circunferencia de centro el origen y radio r es:

\( x^2+y^2=r^2 \)

6) Por tanto en (4) la clase de equivalencia de \( (a,b) \) son los puntos de la circunferencia de centro origen y radio \( \sqrt{a^2+b^2}.
 \)

Saludos.

[Frankie]

Vale Luis, gracias a la explicación ya conseguí entender el sentido geométrico de esa relación. Estoy acostumbrado a ejercicios más fáciles de relaciones y este me dejó algo descolocado con eso de la interpretación geométrica.

¡Gracias!

[Fernando Revilla]

Aunque el problema ha sido suficientemente aclarado, aprovechando que ya lo tenía yo redactado, doy el enlace: Relación de equivalencia, conjunto cociente (apartado 5).

[Frankie]

Aunque el problema ha sido suficientemente aclarado, aprovechando que ya lo tenía yo redactado, doy el enlace: Relación de equivalencia, conjunto cociente (apartado 5).

Hola Fernando,

De hecho, el ejercicio 5 es al que me refería yo al principio de este tema. Como no había tenido en cuenta la interpretación geométrica, me resultaba difícil de entender, pero ahora ya sí lo tengo claro.

Muy útiles tus ejercicios resueltos, por cierto.

Gracias a todos