[MainOwner]

Hola,
¿alguien me puede echar una mano con este ejercicio?, me piden obtener las raíces de esta ecuación
\( z^4-12z^3+(54-16i)z^2-(108-96i)z+117-144i=0 \)

Si sustituyo por z=x+3 conseguiré que el término de grado 3 se anule, y llego a:
\( x^4-16ix^2+36=0 \), que se resuelve fácilmente por ser una ecuación bicuadrada.
Y obtengo las soluciones que me piden desplazadas 3 unidades hacia la izquierda. Si sumo +3 a las cuatro soluciones que obtengo ya lo tendría.

Mi duda es, ¿hay alguna forma más general para resolver ecuaciones de este tipo? ¿cómo se supone que tendría que darme cuenta de que al sustituir por z=x+3 iba a llegar a algo sencillo de resolver?

Muchas gracias
Un saludo.

[Abdulai]

......Mi duda es, ¿hay alguna forma más general para resolver ecuaciones de este tipo?

La forma general es mediante la resolvente de 4to grado, el problema es lo engorroso de aplicarla.

¿cómo se supone que tendría que darme cuenta de que al sustituir por z=x+3 iba a llegar a algo sencillo de resolver?

En un polinomio \( x^n+ax^{n-1}+bx^{n-2}+\cdots \)  reemplazando \( x=u-\dfrac{a}{n} \) , se obtiene  un nuevo polinomio donde se anula el 2do término:  \( u^n+b'u^{n-2}+\cdots \)

En este caso es una sustitución tentativa con la esperanza que resulte una bicuadrada. 

[MainOwner]

Entendido. Gracias