Hola buenas,
Me gustaría entender por qué una región de área infinita puede generar por rotación un volumen finito.
Por ejemplo, la región limitada por \( y=\displaystyle\frac{1}{x} \), \( y=0 \) e \( x=1 \) genera por rotación un volumen finito igual a:
\( V=\pi\displaystyle\int_{1}^{\infty}(\displaystyle\frac{1}{x})^2\,dx=\pi \) unidades al cubo
¿Cómo se explica? Agradecería una ayuda para poder entenderlo.
Gracias de nuevo y saludos.
Solo una idea informal: piensa que \( 1 cm \) es mas pequeño que un metro, pero \( 1 cm^3 \) es mucho más pequeño que \( 1 m^3 \).
Otra idea. Considera ese volumen (la 'trompeta de Gabriel') hasta una distancia finita, deformado a un cilindro con su radio medio. A medida que aumentamos la longitud, la altura del cilindro tiende a infinito, mientras que su radio tiende a cero. El límite asi de entrada es indeterminado, y en este caso resulta ser finito.
Y si quieres jugar directamente con el área, por el Teorema de Pappus-Guldin, podemos calcular el volumen, para una región finita, como el producto del área que gira por la longitud de la trayectoria que recorre su centro de masas. Cuando hacemos tender la longitud a infinito, nuevamente tenemos un límite de la forma \( 0\cdot{}\infty \). La cuestión en definitiva es que el radio tiende a cero de forma similar a la que el área lo hace a infinito, dando un límite finito para el producto.
Y si quieres paradojas, piensa que la trompeta de Gabriel podría idealmente llenarse con una cantidad finita de pintura, que sin embargo sería incapaz de pintarla por completo ...
Saludos,
