Al calcular la asíntota horizontal, realizo los mismos pasos para la asintota vertical, pero no se como continuar, llegué hasta aqui...
\( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{x(-x-1)}{5x (\sqrt[ ]{(2-x)}+\sqrt[ ]{(2+x^2)}}} \)
Es importante distinguir si \( x\rightarrow{}+\infty\textrm{ o si }x\rightarrow{}-\infty \). Si no le antepones ningún signo, se supone que debe ser \( +\infty \), pero voy a hacerlo en los dos casos:
En principio es igual, divide por \( x \) numerador y denominador y saca factor común \( x^2 \) dentro de las raíces cuadradas:
\( \displaystyle\lim_{x \to{}\pm{}\infty}{\displaystyle\frac{x(-x-1)}{5x (\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2})}}
=\displaystyle\lim_{x \to{}\pm{}\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5 (\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2})}}
=\displaystyle\lim_{x \to{}\pm{}\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+\left |{x}\right |\sqrt[ ]
{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}} \\
\)
Puesto que \( \sqrt[ ]{x^2}=\left |{x}\right | \). Pero
\( \left |{x}\right |=\begin{cases} x & \text{si}& x \geq{}0\\-x & \text{si}& x < 0\end{cases} \)
Entonces, ahora debemos diferenciar:
\( \cancel{\displaystyle\lim_{x \to{}+\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}} \\
=\displaystyle\lim_{x \to{}+\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}}
=-\dfrac{1}{5} }
\)
No puede hacerse ese límite puesto que la función no está definida para x > 2, a causa de la primera raíz del denominador.Y
\( \displaystyle\lim_{x \to{}-\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}} \\
=\displaystyle\lim_{x \to{}-\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(-x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}-x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}}
=\dfrac{1}{5}
\)
Saludos,
