Tenemos que
\( \displaystyle E=\sum_{k=0}^\infty\frac{2k+1}{2^{k+1}(2k+1)!}=\frac12\sum_{k=0}^\infty\frac1{2^k(2k)!}=\frac12\sum_{k=0}^\infty\frac{(1/2)^k}{(2k)!}=\frac12\sum_{k=0}^\infty\frac{(1/\sqrt2)^{2k}}{(2k)!}=\frac12\cosh (1/\sqrt 2) \)
También sabemos que \( \cosh (x)=\frac12(e^x+e^{-x}) \) así que hay otras maneras de manipular la serie \( E \) para escribirla como sumas de exponenciales. Lo que pasa es que si se conoce que \( \cosh (x):=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k}}{(2k)!} \) entonces es más inmediato.
También observa que de la expresión
Saludos amigos, quisiera que me dieran una ayuda con esta serie, la cual obtengo una respuesta en función de la constate de Euler pero no estoy seguro.
\(
E=\dfrac{1}{2\times1!}+\dfrac{3}{2^2\times3!}+\dfrac{5}{2^3\times5!}+\dfrac{7}{2^4\times7!}+\ldots{\color{red}{\infty}} \)
Gracias.
lo marcado en rojo no es
correcto una notación usual y parece indicar que los sumandos de la serie tienden a infinito. En todo caso
es mejor lo usual es dejar sólo los puntos suspensivos al final para indicar infinitud de términos.
CORREGIDO.
