[cristianoceli]

Hola, he quedado atascado con esta demostración

Sea \( (\mathbb{R^2},d) \), donde \( d \) es la métrica euclidiana. Sea \( A= \{ (x,y) | -1<x<1 , -1<y<1\} \)  muestre que \( A \) es un abierto.

Lo que he hecho

Que sea un abierto significa que:

\( \forall (x,y)\in A \) entonces \( \exists\mathscr{B}_r(x,y)\subset A \)

Si \( (x,y)\in A \). Por definición \( -1<x<1~\&~-1<y<1 \). Supongamos que \( \delta=\frac{1}{2}\min\{x+1,1-x,y+1,1-y\} \).

Debemos probar que \( \mathscr{B}_{\delta}(x,y)\subset A \) (Aca he quedado pegado, no se muy bien como continuar)

De antemano gracias
Saludos

[Ignacio Larrosa]

Hola, he quedado atascado con esta demostración

Sea \( (\mathbb{R^2},d) \), donde \( d \) es la métrica euclideana. Sea \( A= \{ (x,y) | -1<x<1 , -1<y<1\} \)  muestre que \( A \) es un abierto.

Lo que he hecho

Que sea un abierto significa que:

\( \forall (x,y)\in A \) entonces \( \exists\mathscr{B}_r(x,y)\subset A \)

Si \( (x,y)\in A \). Por definición \( -1<x<1~\&~-1<y<1 \). Supongamos que \( \delta=\frac{1}{2}\min\{x+1,1-x,y+1,1-y\} \).

Debemos probar que \( \mathscr{B}_{\delta}(x,y)\subset A \) (Aca he quedado pegado, no se muy bien como continuar)

De antemano gracias
Saludos

No es necesario el factor \( \frac{1}{2} \), puede ser \( \delta=\min\{x+1,1-x,y+1,1-y\} \). La distancia de \( (x, y) \) a la frontera de \( A\textrm{ es }\delta\textrm{ y }\forall{}(x', y')\in{}\mathscr{B}_{\delta}(x,y), d((x, y),(x', y')) < \delta \), luego \( \mathscr{B}_{\delta}(x,y)\subset
A \)

Saludos,

[cristianoceli]

Hola, he quedado atascado con esta demostración

Sea \( (\mathbb{R^2},d) \), donde \( d \) es la métrica euclideana. Sea \( A= \{ (x,y) | -1<x<1 , -1<y<1\} \)  muestre que \( A \) es un abierto.

Lo que he hecho

Que sea un abierto significa que:

\( \forall (x,y)\in A \) entonces \( \exists\mathscr{B}_r(x,y)\subset A \)

Si \( (x,y)\in A \). Por definición \( -1<x<1~\&~-1<y<1 \). Supongamos que \( \delta=\frac{1}{2}\min\{x+1,1-x,y+1,1-y\} \).

Debemos probar que \( \mathscr{B}_{\delta}(x,y)\subset A \) (Aca he quedado pegado, no se muy bien como continuar)

De antemano gracias
Saludos

No es necesario el factor \( \frac{1}{2} \), puede ser \( \delta=\min\{x+1,1-x,y+1,1-y\} \). La distancia de \( (x, y) \) a la frontera de \( A\textrm{ es }\delta\textrm{ y }\forall{}(x', y')\in{}\mathscr{B}_{\delta}(x,y), d((x, y),(x', y')) < \delta \), luego \( \mathscr{B}_{\delta}(x,y)\subset
A \)

Saludos,

Bien, gracias. Una duda para encontrar las distacias ocupe la formula de distancia d eun punto a una recta porque dice que son las distancia euclidiana ¿es correcto?'

[Ignacio Larrosa]

Hola, he quedado atascado con esta demostración

Sea \( (\mathbb{R^2},d) \), donde \( d \) es la métrica euclideana. Sea \( A= \{ (x,y) | -1<x<1 , -1<y<1\} \)  muestre que \( A \) es un abierto.

Lo que he hecho

Que sea un abierto significa que:

\( \forall (x,y)\in A \) entonces \( \exists\mathscr{B}_r(x,y)\subset A \)

Si \( (x,y)\in A \). Por definición \( -1<x<1~\&~-1<y<1 \). Supongamos que \( \delta=\frac{1}{2}\min\{x+1,1-x,y+1,1-y\} \).

Debemos probar que \( \mathscr{B}_{\delta}(x,y)\subset A \) (Aca he quedado pegado, no se muy bien como continuar)

De antemano gracias
Saludos

No es necesario el factor \( \frac{1}{2} \), puede ser \( \delta=\min\{x+1,1-x,y+1,1-y\} \). La distancia de \( (x, y) \) a la frontera de \( A\textrm{ es }\delta\textrm{ y }\forall{}(x', y')\in{}\mathscr{B}_{\delta}(x,y), d((x, y),(x', y')) < \delta \), luego \( \mathscr{B}_{\delta}(x,y)\subset
A \)

Saludos,

Bien, gracias. Una duda para encontrar las distacias ocupe la formula de distancia d eun punto a una recta porque dice que son las distancia euclidiana ¿es correcto?'

Si, pero no es necesario. Al tratarse de rectas horizontales y verticales, la distancia es inmediata, conocidas la ecuación de la recta y las coordenadas del punto.

Saludos,