[Arkhé]

Hola buenas,

Conozco el método de buscar minimizar una función a través de la derivación. Pero en este ejercicio se me pide el valor de \( k \) que minimiza la integral.

Enunciado:

Supongamos que \( a<b \) y que \( f \) es contínua en el intervalo \( [a,b] \). Calcule la constante \( k \) que minimiza la integral:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x)-k)^2dx \)


Agradecería que alguien me explicara la resolución.

Gracias y un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola buenas,

Conozco el método de buscar minimizar una función a través de la derivación. Pero en este ejercicio se me pide el valor de \( k \) que minimiza la integral.

Enunciado:

Supongamos que \( a<b \) y que \( f \) es contínua en el intervalo \( [a,b] \). Calcule la constante \( k \) que minimiza la integral:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x)-k)^2dx \)

Agradecería que alguien me explicara la resolución.

Igual que siempre. Considera la función:

\( g(k)=\displaystyle\int_{a}^{b}(f(x)-k)^2dx \)

y halla el mínimo. Para ello analiza donde se anulan las derivadas. Puedes derivar dentro de la integral, es decir;

\( g'(k)=\displaystyle\int_{a}^{b}-2(f(x)-k)dx \)

Saludos.

P.D. Aquí tienes los teoremas que justifican que puedes derivar dentro de la integral de esa forma:

http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cap8.pdf

Si no quieres usarlo de manera más explícita puedes tener en cuenta que en este caso:

\( g(k)=\displaystyle\int_{a}^{b}(f(x)-k)^2dx=\left(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)^2dx\right)-2k\left(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\right)+k^2(b-a) \)

y es simplemente una función polinómica de grado dos.

[Arkhé]

Hola Luis,

Primero de todo, muchas gracias por tu ayuda.

Me gustaría comentarte (y a cualquier compañero que quisiera colaborar) unas dudas que me surgen para poder resolver el problema.

Antes que nada me imagino que, por lo que dices, es correcto afirmar que el resultado de derivar una función que es una integral es el mismo que el de integrar la derivada de dicha función.

Y respecto al problema en concreto: cuando busco el valor de \( k \) para el cuál se anula la primera derivada, separo la integral suma en suma de integrales, pero como en la integral \( \displaystyle\int_{a}^{b}-2f(x)dx \) no está incluida la derivada de \( f(x) \), es decir, \( f'(x) \), no puedo hacer nada más con ella ¿no?. Con lo que \( k \) me quedará:

\( k=\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\frac{f(x)}{b-a}dx \)

¿Es correcto?

Y por último, cuando hago la segunda derivada obtengo: \( 2(b-a) \) y por ser \( b>a \) el resultado es positivo y, por tanto, el valor anterior de \( k \) se trata de un mínimo.

¿Estaría bien como he acabado de resolver el problemar?

Gracias de nuevo y saludos.

[Ignacio Larrosa]

Y respecto al problema en concreto: cuando busco el valor de \( k \) para el cuál se anula la primera derivada, separo la integral suma en suma de integrales, pero como en la integral \( \displaystyle\int_{a}^{b}-2f(x)dx \) no está incluida la derivada de \( f(x) \), es decir, \( f'(x) \), no puedo hacer nada más con ella ¿no?. Con lo que \( k \) me quedará:

\( k=\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\frac{f(x)}{b-a}dx \)

¿Es correcto?

Y por último, cuando hago la segunda derivada obtengo: \( 2(b-a) \) y por ser \( b>a \) el resultado es positivo y, por tanto, el valor anterior de \( k \) se trata de un mínimo.

¿Estaría bien como he acabado de resolver el problemar?
.

Si, perfectamente. Queda un poco mejor, a mi modo de ver, así

\( k = \displaystyle\frac{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a} \)

Ese valor de k es el valor medio de la función en el intervalo [a, b]. El Teorema del Valor Medio del cálculo integral afirma que:

\( f(x)\textrm{ continua en }[a, b]\;\Longrightarrow{}\;\exists{}c\in{}(a, b) | f(c) = k \)

Es decir, que si \( f(x) \) es continua, el valor medio se alcanza efectivamente para algun valor entre \( a\textrm{ y }b \).

Saludos,

[Arkhé]

Muchas gracias a los dos!!!

Que foro más fantástico!!

Saludos.