Las series de potencias, por ejemplo, que vienen a ser como "polinomios de grado infinito", es decir series del tipo \( \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \), para una sucesión de coeficientes \( \{a_k\}_{k\in\Bbb N} \) son una parte esencial de las matemáticas, así que están presentes en todas partes.
Las series de potencias permiten describir
localmente lo que se denominan
funciones analíticas, que son utilizadas en el mundo real en la inmensa mayoría de aplicaciones de las matemáticas. Las series de potencias nos permiten aproximar una función con un grado de error arbitrario, según nos convenga.
Otras series muy utilizadas son las series de Fourier, que son del tipo \( \sum_{k=0}^\infty(a_k\cos (kx)+b_k\sin(kx)) \), que permiten aproximar
globalmente un extenso número de funciones. Se utilizan ampliamente en las ciencias.
Las series no son más que un tipo especial de sucesión, como ya habrás visto.
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Las sumas que has puesto se pueden "resolver" (es decir, entendiendo resolver como la búsqueda de una función explícita que nos de su valor respecto de \( n \)) de muy diversos modos. Los cuatro métodos generales que yo suelo utilizar:
- Intentar escribir la suma como una suma telescópica, lo cual muchas veces no es posible, pero si lo fuese el resultado es inmediato. Relativo a esto se puede separar la suma en distintas sumas, darles un nombre e intentar buscar una identidad algebraica que nos de el resultado buscado (como se hace en la resolución clásica de la serie geométrica)
- Usar
suma por partes, muchas veces así se obtiene el resultado buscado
- Usando métodos de
cálculo finito- Si es una serie intentar convertirla, metiendo una variable, en una serie de potencias, una serie de Fourier o alguna otra cosa que me resulte conveniente, de tal modo que sobre la serie pueda aplicar métodos de integración y diferenciación por cada elemento de la misma
Viendo las sumas que has dejado de ejemplo lo que se me ocurre es primero escribir la primera como suma de fracciones elementales, y quizá haciendo eso encontremos alguna forma de aplicar el primer método.
Para la segunda sacaría factor común y aplicaría la suma por partes seguido de la
fórmula de Faulhaber o, de manera equivalente, algún método de cálculo finito.
Para la última suma no existe una expresión cerrada, así que tu intento es vano. En muchos casos (la gran mayoría) no existe una fórmula cerrada para series o sumas parciales.
