Hola
Hola amigos, por favor me pueden ayudar con este ejercicio, tengo varios de este tipo y con su ayuda podría hacer los otros.
Sea \( T \) una reflexión en \( \mathbb{R}^2 \) sobre la línea que forma 30 grados con el eje de las x.
\( a) \) Encontrar la matriz de \( T \).
Dos formas para constuir la reflexión.
1) Se tiene que:
\( T(\vec u)=2P(\vec u)-\vec u \)
donde \( P(\vec u) \) es la proyección sobre el eje de simetría, si \( \vec v \) es un vector unitario director del eje de simetría se tiene que:
\( P(\vec u)=(\vec u\cdot \vec v)\vec v \)
En tu caso \( \vec v=(cos(30),sin(30)) \).
2) Construye una base \( B \) ortogonal, con el primer vector \( \vec u_1 \) el eje de simetría y el segundo perpendicular a el \( \vec u_2 \).
En esa base:
\( T_B=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 &-1\\\end{pmatrix} \)
Luego cambia a la canónica:
\( T_C=MT_BM^{-1} \)
donde \( M \) está formada por los vectores de la base \( B \) como columnas. En tu caso puedes tomar:
\( B=\{(cos(30),sin(30)),(-sin(30),cos(30)))\} \)
La base es ortonormal lo cual facilita las cosas porque en ese caso \( M^{-1}=M^t.
\)
\( b) \) Supongamos que R es la rotación de \( \mathbb{R}^2 \) por 30 grados, \( R^{-1} \) es la rotación opuesta y S es la reflexión sobre el eje \( x \). Tenga en cuenta que \( T=R\circ{}S\circ{}R^{-1} \). Use esto para verificar su respuesta a \( a) \).
La matriz de giro de ángulo \( A \) es:
\( R_A=\begin{pmatrix}cos(A)&-sin(A)\\sin(A)&cos(A)\\\end{pmatrix} \)
Y la de la simetría respecto al eje \( OX \):
\( \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 &-1\\\end{pmatrix} \)
Con esto lo tienes (y hay una clara similitud con el segundo método que te propuse antes).
Saludos.
