\( f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{4x^3-4x}{5 (x+1)(x-2)} & \text{si}& x\geq{-3}\\e^{x+5} & \text{si}& x <-3\end{cases} \)
Lo primero que hago es sacar el dominio de ambas ramas de la funcion.
La primera es {-1,2}
La primera definición solo es aplicable en \( [-3, \infty) \), no tiene sentido ver que ocurre con esta expresión analítica cuando \( x < -3 \). El dominio de la función en la parte en que es aplicable esta función es el complementario del que das: \( [-3, \infty) - (-1, 2) = [-3, -1)\cup{}(-1, 2)\cup{}(2, \infty) \)
La segunda todos los reales.
En la segunda no hay ningún problema, luego la función esta definida de esa forma en todo \( (-\infty, -3) \). En conjunto, tenemos que
D(f) = \( \mathbb{R} - (-1, 2) = (-\infty, -1)\cup{}(-1, 2)\cup{}(2, \infty) \)
Calculo los limites.
\( \displaystyle\lim_{x \to -1}{\displaystyle\frac{4x^3-4x}{5 (x+1)(x-2)}} \)
Este límite me da \( \displaystyle\frac{0}{0} \)
¿Es necesario salvar esa indeterminación?¿Cómo hago?
Debes resolver la indeterminación, pues es justamente eso: una indeterminación. En principio no sabes nada del límite, si es finito o infinito o no existe en modo alguno. La forma de resolverla, tratandose de cocientes de polinomios, es factorizarlos por completo, recordando que si \( x = a \) es una raíz de un polinomio, \( (x - a) \) es un factor. En este caso,
\( \displaystyle\lim_{x \to -1}{\displaystyle\frac{4x^3-4x}{5 (x+1)(x-2)}}=\displaystyle\lim_{x \to -1}{\displaystyle\frac{4x(x+1)(x-1)}{5(x+1)(x-2)}} \)
Vemos que efectivamente numerador y denominador contienen el factor \( (x+1) \), que hace que ambos sean nulos en \( x = -1 \), lo que nos impide calcular el valor del cociente cuando \( x =- 1 \). Pero como no estamos interesados en el valor del cociente en ese punto, sino en el límite cuando x\rightarrow{}-1, y está cerca pero no es igual a -1, podemos cancelar el factor (x+1), quedando:
\( \displaystyle\lim_{x \to -1}{\displaystyle\frac{4x(x-1)}{5(x-2)}} \)
que ya no es indeterminado. por tanto, aqui tenemos una discontinuidad evitable, no una asíntota vertical ni ninguna otra cosa.
¿En este tipo de función (de dos ramas) hay que calcular los límites por izq y por derecha cuando calculo A.v?
En general si hay una asíntota vertical conviene conocer cual es el límite por la izquierda y por la derecha en el punto en cuestión. Si estamos haciendo esto para representar la función o para conocer su comportamiento cerca de ese punto, está claro que es esencial saber que ocurre a cada lado.
Por otra parte, no se si es el objetivo de este ejercicio, en los puntos en los que cambia la definición de la función, \( x = -3 \) en este ejercicio, deben hallarse los límites laterales para conocer si la función es o no continua, y a que se aproxima por cada lado si no lo es. Esta función presenta una discontinuidad finita, a veces llamada de salto, en \( x = -3 \).
Saludos,
