[Toniou]

Muy buenas.

Necesito encontrar un valor natural mayor que dos para "x" que se corresponda con un valor natural mayor que dos de "y" para una de las funciones siguientes (o en su defecto demostrar que dichos valores no existen):

\( f(x)=\log_n(p^{x}-1),\quad g(x)=\log_p(n^{x}-1) \)

donde \( n\in  \mathbb{N} \), \( p \) es un número primo.

¿Alguna idea o método?

Gracias y un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

Necesito encontrar un valor natural para "x" que se corresponda con un valor natural de "y" para una de las funciones siguientes (o en su defecto demostrar que dichos valores no existen):

\( f(x)=m\log_n(p^{mx}-1),\quad g(x)=m\log_p(n^{mx}-1) \)

donde \( m,n\in  \mathbb{N} \), \( m>2 \), \( p \) es un número primo.

¿Alguna idea o método?

 Sería bueno que explicases el contexto donde te ha surgido esta cuestión y que la concretases un poco más.

Por ejemplo, si \( m,n,p \) son prefijados no siempre va a poderse encontrarse naturales \( x,y \) tales que:

\( y=m\log_n(p^{mx}-1) \)

Esto equivale a que:

\( n^y=(p^{mx}-1)^m \)

Si por ejemplo \( n \) es múltiplo de \( p \), entonces la igualdad es imposible ya que \( p^{mx}-1 \) es comprimo con \( p \).

Saludos.

[Toniou]

Muchísimas gracias por responder. En primer lugar decirte que he modificado las funciones, te invito a que les vuelvas a echar un vistazo en el primer post. Tras esto decirte que realmente no he podido encontrar el logaritmo en el editor del foro por eso no pude, me leí de forma breve las normas antes de postear tal y como se requiere. Por último decirte que es un debate que surgió en mi facultad y es verdaderamente importante resolver (o demostrar que no es posible resolver) este dilema y agradezco infinitamente toda ayuda. Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Muchísimas gracias por responder. En primer lugar decirte que he modificado las funciones, te invito a que les vuelvas a echar un vistazo en el primer post. Tras esto decirte que realmente no he podido encontrar el logaritmo en el editor del foro por eso no pude, me leí de forma breve las normas antes de postear tal y como se requiere. Por último decirte que es un debate que surgió en mi facultad y es verdaderamente importante resolver (o demostrar que no es posible resolver) este dilema y agradezco infinitamente toda ayuda. Un saludo.

Pero sigues sin aclarar nada. Mis preguntas sobre el contexto no es por "cotillear" sino por entender con precisión el problema y el tipo de respuesta que buscas.

Digo lo mismo que antes:

\( n=\log_n(p^{x}-1) \)

equivale a:

\( n^y=p^x-1 \)

Entonces por ejemplo si \( n \) es múltiplo de \( p \), esa ecuación no tiene soluciones enteras.

Por otra parte trivialmente tomando \( y=1 \) y \( n=p^x-1 \) tenemos casos donde si hay valores enteros.

Si quieres una respuesta más precisa, necesitas precisar más la pregunta.

Saludos.

P.D. Cosas como "es verdaderamente importante resolver (o demostrar que no es posible resolver) este dilema" no aportan nada a la hora de concretar mejor tu cuestión.

[Toniou]

La duda surgió en clase analizando cuándo las curvas logarítmicas pasan por esquinas de las cuadrículas del plano (entendiendo como cuadrículas un cuadrado de área \( 1u^2 \)). Eso equivale a que "x" e "y" tengan un valor entero en la función logarítmica.

Derivada de ella, la cosa es que me gustaría saber como averiguar si existen valores de "n", "p", "x" e "y" tales que \( n^y \)\( = \)\( p^x \)\( -1 \) siendo "x" e "y" naturales mayores que dos, "n" natural y "p" número primo.

[Luis Fuentes]

Hola

La duda surgió en clase analizando cuándo las curvas logarítmicas pasan por esquinas de las cuadrículas del plano (entendiendo como cuadrículas un cuadrado de área \( 1u^2 \)). Eso equivale a que "x" e "y" tengan un valor entero en la función logarítmica.

Derivada de ella, la cosa es que me gustaría saber como averiguar si existen valores de "n", "p", "x" e "y" tales que \( n^y \)\( = \)\( p^x \)\( -1 \) siendo "x" e "y" naturales mayores que dos, "n" natural y "p" número primo.

Catalan conjeturó en 1844 que la única solución en los naturales de:

\( p^x-n^y=1 \)

con \( x,y>1 \) (si alguno de los exponente es 1 la ecuación es trivial) , es \( p=3 \), \( x=2 \), \( n=2 \), \( y=3 \).

La conjetura fue demostrada en 2002 por Preda Mihăilescu. El artículo donde lo demuestra es:

"Primary cyclotomic units and a proof of Catalans conjecture". Preda Mihăilescu
Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), Volume 2004, Issue 572, Pages 167–195

Aquí puedes consultar un artículo (de libre acceso) que rehace la demostración:

 https://www.mimuw.edu.pl/~zbimar/Catalan.pdf

Esto contesta completamente a tu pregunta.

Saludos.

[Toniou]

Vaya ni idea del asunto. Muchísimas gracias por el aporte.

Y, ya puestos a darle vueltas, ¿y si en lugar de 1 fuera otro número? ¿habría algún tipo de algoritmo para encontrar \( n, p, x \) e \( y \) naturales?

[Luis Fuentes]

Hola

Vaya ni idea del asunto. Muchísimas gracias por el aporte.

Y, ya puestos a darle vueltas, ¿y si en lugar de 1 fuera otro número? ¿habría algún tipo de algoritmo para encontrar \( n, p, x \) e \( y \) naturales?

Si en lugar de 1 es otro número está conjeturado que siempre hay un número finito de soluciones. En la misma página de la Wikipedia en inglés que te enlacé sobre la Conjetura de Catalan mira en la sección de generalizaciones.

Saludos.