[cristianoceli]

Hola perdonen el poco formalismo en que voy a plantear un problema. Lo que sucede es que estoy estudiando de unos apuntes y así aparece escrito y la verdad no se como probarlo.

\( (\mathbb{R},||)  \) , donde \( || \) es la metrica valor absoluto.

¿Es \( \mathbb{Z} \) abierto?
¿Es \( \mathbb{Q} \) abierto?


Lo que se me ocurre es tratar de ver el test de conjunto abierto (pero no se muy bien como aplicarlo)en espacio métrico  que dice:

Sea \( A\leq{x} \) \( A \) es abierto si y solo si

\( \forall{x\in{A}} \), \( \exists{r_x>0} \) tal que \( x\in{B(x,r_x)}\subseteq{A} \)

De antemano gracias

[Fernando Revilla]

\( (\mathbb{R},||)  \) , donde \( || \) es la metrica valor absoluto.  ¿Es \( \mathbb{Z} \) abierto? ¿Es \( \mathbb{Q} \) abierto? \( A \) es abierto si y solo si \( \forall{x\in{A}} \), \( \exists{r_x>0} \) tal que \( x\in{B(x,r_x)}\subseteq{A} \)

Ninguno es abierto. Eliige tanto para \( \mathbb{Z} \) como para \( \mathbb{Q} \), \( x=0 \). Para todo \( r > 0 \), la bola \( B(0,r) \) es el intervalo de la recta real \( (-r,r) \) que claramente no está contenido ni en \( \mathbb{Z} \) ni en \( \mathbb{Q} \) pues todo intervalo de la recta real contiene números irracionales.

[cristianoceli]

\( (\mathbb{R},||)  \) , donde \( || \) es la metrica valor absoluto.  ¿Es \( \mathbb{Z} \) abierto? ¿Es \( \mathbb{Q} \) abierto? \( A \) es abierto si y solo si \( \forall{x\in{A}} \), \( \exists{r_x>0} \) tal que \( x\in{B(x,r_x)}\subseteq{A} \)

Ninguno es abierto. Eliige tanto para \( \mathbb{Z} \) como para \( \mathbb{Q} \), \( x=0 \). Para todo \( r > 0 \), la bola \( B(0,r) \) es el intervalo de la recta real \( (-r,r) \) que claramente no está contenido ni en \( \mathbb{Z} \) ni en \( \mathbb{Q} \) pues todo intervalo de la recta real contiene números irracionales.

Ok, muchas gracias.

Saludos