[FrancoMonse]

Si los términos de la sucesión \( b_0=2,b_1,b_2,....,b_n... \)satisfacen la relación \( b_n=\color{red}b_{n/2}\color{black} + n^2  \)para todo \( n\geq{1} \) entonces la desigualdad \(  b_n<4n^2  \) se cumple para todo \( n\geq{1} \).


Corregido:

b_{n/2} para obtener \( b_{n/2} \)

[robinlambada]

Hola:

Si los términos de la sucesión \( b_0=2,b_1,b_2,....,b_n... \)satisfacen la relación \( \color{red}b_n=b_(n/2) + n^2  \)para todo \( n\geq{1} \) entonces la desigualdad \(  b_n<4n^2  \) se cumple para todo \( n\geq{1} \).

No me queda claro cual es la expresión de \( b_n \), parece que quieres usar el subíndice ,pero si quieres agrupar varios caracteres en el subíndice debes encerrarlos entre {} por ejemplo \( b_{23} \) , se escribe como [tex][tex]b_{23}[/tex][/tex]

Pero no me cuadra, si quieres poner \( b_n=b_{n/2}+n^2 \) no tiene sentido para indices impares es decir para n impares.

Creo que debes corregir la expresión que puse en rojo.

Saludos.

[robinlambada]

Si hacemos 2k=n , entonces:

\( b_{2k}=b_k+(2k)^2 \)

\( b_{2}=b_0+2^2 \)

\( b_{4}=b_2+4^2=b_0+4+4^2 \)

\( b_{8}=b_4+8^2=b_0+4+4^2+8^2=b_0+4+4^2+4^3 \)

\( b_{2^m}=b_0+\displaystyle\sum_{i=1}^m{}4^i=2+\displaystyle\frac{4^{m+1}-4}{4-1}<4^{m+1}=4\cdot{}4^{m}=4\cdot{}(2^2)^{m}=4\cdot{}\left({2^{m}}\right)^2\Leftrightarrow{}b_n<4n^2 \) para \( n=2^{m} \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Si los términos de la sucesión \( b_0=2,b_1,b_2,....,b_n... \)satisfacen la relación \( b_n=\color{red}b_{n/2}\color{black} + n^2  \)para todo \( n\geq{1} \) entonces la desigualdad \(  b_n<4n^2  \) se cumple para todo \( n\geq{1} \).


Corregido:

b_{n/2} para obtener \( b_{n/2} \)

Te he corregido el enunciado, escribiendo correctamente en LaTeX lo que parece que querías poner.

Sin embargo debes de revisarlo. Como dicen robinlambda para impares la expresión no tiene sentido y por tanto no podríamos decir nada para los términos en posición múltiplo de un impar distinto de \( 1 \).

Por ejemplo para \( n=3 \) tendríamos \( b_3=b_{1.5}+3^2 \). Pero \( b_{1.5} \) no existe. Luego no hay ninguna información sobre \( b_3 \). No sé si quizá el enunciado mete una parte entera (que no has escrito). Pero antes de especular, revisa y confirma tu el enunciado correcto.

Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Si hacemos 2k=n , entonces:

\( b_{2k}=b_k+(2k)^2 \)

\( b_{2}=b_0+2^2 \)

\( b_{4}=b_2+4^2=b_0+4+4^2 \)

\( b_{8}=b_4+8^2=b_0+4+4^2+8^2=b_0+4+4^2+4^3 \)

\( b_{2^m}=b_0+\displaystyle\sum_{i=1}^m{}4^i=2+\displaystyle\frac{4^{m+1}-4}{4-1}<4^{m+1}=4\cdot{}4^{m}=4\cdot{}(2^2)^{m}=4\cdot{}\left({2^{m}}\right)^2\Leftrightarrow{}b_n<4n^2 \) para \( n=2^{m} \)

Saludos.

Si fuese \( b_1 = 2,\textrm{ que no }b_0 \), y la sucesión fuese creciente, lo que no figura en el enunciado, así estaría completo ¿no?

Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Si fuese \( b_1 = 2,\textrm{ que no }b_0 \), y la sucesión fuese creciente, lo que no figura en el enunciado, así estaría completo ¿no?

Al menos sólo con la prueba que está escrita no.

Que la sucesión sea creciente y que \( b_n<4n^2 \) para \( n \) potencia de dos, no veo que signifique que \( b_n<4n^2 \) para cualquier natural.

Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Si fuese \( b_1 = 2,\textrm{ que no }b_0 \), y la sucesión fuese creciente, lo que no figura en el enunciado, así estaría completo ¿no?

Al menos sólo con la prueba que está escrita no.

Que la sucesión sea creciente y que \( b_n<4n^2 \) para \( n \) potencia de dos, no veo que signifique que \( b_n<4n^2 \) para cualquier natural.

Tienes razón, no se en que estaba desvariando ...

Saludos,

[FrancoMonse]

Hola:

Si los términos de la sucesión \( b_0=2,b_1,b_2,....,b_n... \)satisfacen la relación \( \color{red}b_n=b_(n/2) + n^2  \)para todo \( n\geq{1} \) entonces la desigualdad \(  b_n<4n^2  \) se cumple para todo \( n\geq{1} \).

No me queda claro cual es la expresión de \( b_n \), parece que quieres usar el subíndice ,pero si quieres agrupar varios caracteres en el subíndice debes encerrarlos entre {} por ejemplo \( b_{23} \) , se escribe como [tex][tex]b_{23}[/tex][/tex]

Pero no me cuadra, si quieres poner \( b_n=b_{n/2}+n^2 \) no tiene sentido para indices impares es decir para n impares.

Creo que debes corregir la expresión que puse en rojo.

Saludos.

Hola. Estuve revisando el enunciado junto alumnos de mi clase y  representantes de cátedra, y llegamos a la conclusión de que al enunciado le faltaba información, comparandolo con el libro de donde fue extraído. (No se si será información útil para la resolución del ejercicio)
No he encontrado la opción para poner piso, es decir aquél entero que no supera, en este caso, a \( \displaystyle\frac{n}{2} \) de la expresión \( b_n=b_{\displaystyle\frac{n}{2}}+n^2 \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola. Estuve revisando el enunciado junto alumnos de mi clase y  representantes de cátedra, y llegamos a la conclusión de que al enunciado le faltaba información, comparandolo con el libro de donde fue extraído. (No se si será información útil para la resolución del ejercicio)
No he encontrado la opción para poner piso, es decir aquél entero que no supera, en este caso, a \( \displaystyle\frac{n}{2} \) de la expresión \( b_n=b_{\displaystyle\frac{n}{2}}+n^2 \)

Sería:

\( b_n=b_{\lfloor n/2 \rfloor}+n^2 \)

Sale entonces inmediato por inducción:

- Para \( n=1 \), \( b_1=b_0=2<4\cdot 1^2 \)

- Suponemos cierto para \( k<n \) y lo probamos para \( n \):

\(  b_n=b_{\lfloor n/2 \rfloor}+n^2<4(\lfloor n/2 \rfloor)^2+n^2\leq4 (n/2)^2+n^2=2n^2<4n^2 \)

Saludos.