[Maria_mates]

Buenas tardes, se me plantea este ejercicio con tres apartados.  Los dos primeros estan solucionados, el problema esta en el apartado c), daré mi deducción pero no se si es correcta.

Sea la matriz

\( A = \begin{pmatrix}{5}&{-3}&{0}\\{6}&{-4}&{0}\\{-9}&{9}&{2}\end{pmatrix} \)

a) Demostrar que \( A \) es diagonalizable, especificando los valores propios y subespacios fundamentales.

b) Dar uan expresión para las potencias \( A^n \). Calcular \( A^4 \)

c) ¿Es posible encontrar una matriz real \( B \) tal que \( B^2=A \)?. Si es así calcularla

Bien pues he planteado esto pero nose si es correcto, porque no se si hay que utilizar algo de los apartados a) y b).

Sea\(  B^2= A \) entonces\(  I = (B^2)^{-1} A \). Veamos que no podemos calcular\(  ((B^2)^{-1})^{-1} = B^2  \)entonces no existe \( B \) real.

Así pues, sea\(  (B^2)^{-1} = \begin{pmatrix}{a}&{b}&{c}\\{d}&{e}&{f}\\{g}&{h}&{i}\end{pmatrix}
 \)
he multiplicado matrices y he obtenido \( (B^2)^{-1} \) que su determinante es cero, por tanto no existe inversa y no existe por tanto matriz\(  B.  \)

[mathtruco]

Hola Maria_mates.

Todo se basa en la primera parte del problema: calcular los valores y vectores propios.

Si haces las cuentas verás que tu matriz es diagonalizable, así que puedes escribirla como:

    \( A=P\,D\,P^{-1} \)

donde \( D \) es una matriz diagonal que tiene en su diagonal los valores propios de \( A \) y \( P \) es la matriz de vectores propios asociados. Con eso,

    \( A^2=(P\,D\,P^{-1})(P\,D\,P^{-1})=P\,D^2\, P^{-1} \)

y usando la misma idea llegas a

    \( A^k=P\,D^k\, P^{-1} \)

lo que te ayuda a responder la pregunta b. Y con la misma idea puedes responder a la c:

    \( B=P\,D^{1/2}\, P^{-1} \)

pues con eso

    \( B^2=(P\,D^{1/2}\, P^{-1})(P\,D^{1/2}\, P^{-1})=P\,D\, P^{-1}=A \)

donde \( D^{1/2} \) denota la matriz cuyas componentes son las raíces cuadradas de las componentes de \( D \).

Cuando hagas las cuentas verás que no todos los valores propios de \( A \) son positivos, y por tanto \( B \) será una matriz con números complejos.

[Ignacio Larrosa]

Buenas tardes, se me plantea este ejercicio con tres apartados.  Los dos primeros estan solucionados, el problema esta en el apartado c), daré mi deducción pero no se si es correcta.

Sea la matriz

\( A = \begin{pmatrix}{5}&{-3}&{0}\\{6}&{-4}&{0}\\{-9}&{9}&{2}\end{pmatrix} \)
...
c) ¿Es posible encontrar una matriz real \( B \) tal que \( B^2=A \)?. Si es así calcularla

Bien pues he planteado esto pero nose si es correcto, porque no se si hay que utilizar algo de los apartados a) y b).

Para calcularla si que serían útiles los apartados anteriores, pero para saber que no se puede calcular, no son necesarios, es mucho más sencillo. En general, el determinante del producto es igual al producto de los determinantes. Entonces,

\( B^2 = A \;\Longrightarrow{} \left |{B}\right |^2 = \left |{A}\right | \)

Y como \( \left |{A }\right | = -4 \), resulta que \( B \) no puede ser real.

Saludos,