[Juan Sánchez]

Hola,

Desarrolla en series de poténcias alrededor de el origen, la función \( f(x)=ln(1+4x^2) \), e indica el intervalo de convergéncia..

Tengo el ejercicio resuelto, pero no lo entiendo, apreciaria si alguien pudiera explicármelo.

Primero lo que hace es calcular\(  f'(x)=\displaystyle\frac{8x}{1+4x^2} \)\( = \)\( 8x\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{((-4x^2)^n} \). Converge si y sólo si \( \left |{4x^2}\right |<1 \Leftrightarrow{\left |{x}\right |}<\displaystyle\frac{1}{2} \)

Ahora reescribe \( f'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{(-4)^nx^{2n+1}}\Longrightarrow{f(x)=8\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(-4)^nx^{2n+2}}{2n+2}}} \) si \( \left |{x}\right |<\displaystyle\frac{1}{2} \)

Por \( \left |{x}\right |=\displaystyle\frac{1}{2} \), simplemente sustituye \( x=\displaystyle\frac{1}{2} \) en \( f(x) \) reescrita como serie de potencias y ve que es convergente por el criterio de Leibniz. Por lo tanto converge en\( [\displaystyle\frac{-1}{2},\displaystyle\frac{1}{2}] \).

Buenas tardes.

No entiendo la igualdad señalada en rojo, y por qué para reescribir la función cómo serie de potencias usa la derivada, es decir, no entiendo por qué este método funciona.

[ingmarov]

Hola Juan


E la parte en rojo lo que hace es utilizar la serie geométrica con razón     \(  -4x^2 \) para sustituir uno de los factores

\( \dfrac{8x}{1+4x^2}=8x\underbrace{\left(\dfrac{1}{1+4x^2}\right)}_{sustituye\;serie\; geométrica} \)


Saludos

[Ignacio Larrosa]

Hola,

Desarrolla en series de poténcias alrededor de el origen, la función \( f(x)=ln(1+4x^2) \), e indica el intervalo de convergéncia..

Tengo el ejercicio resuelto, pero no lo entiendo, apreciaria si alguien pudiera explicármelo.

Primero lo que hace es calcular\(  f'(x)=\displaystyle\frac{8x}{1+4x^2} \)\( = \)\( 8x\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{((-4x^2)^n} \). Converge si y sólo si \( \left |{4x^2}\right |<1 \Leftrightarrow{\left |{x}\right |}<\displaystyle\frac{1}{2} \)

Ahora reescribe \( f'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{(-4)^nx^{2n+1}}\Longrightarrow{f(x)=8\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(-4)^nx^{2n+2}}{2n+2}}} \) si \( \left |{x}\right |<\displaystyle\frac{1}{2} \)

Por \( \left |{x}\right |=\displaystyle\frac{1}{2} \), simplemente sustituye \( x=\displaystyle\frac{1}{2} \) en \( f(x) \) reescribida como série de poténcias y ve que es convergente por el criterio de Leibniz. Por lo tanto converge en\( [\displaystyle\frac{-1}{2},\displaystyle\frac{1}{2}] \).

Buenas tardes.

No entiendo la igualdad señalada en rojo, y por qué para reescribir la función cómo série de poténcias usa la derivada, es decir, no entiendo por qué éste método funciona.

Respecto a la igualdad, como te indica ingmarov simplemente se trata de la suma de una serie geométrica de razón \( -4x^2 \), que es igual al primer término dividido por uno menos la razón, cuando esta es menor que uno en valor absoluto.

Lo de derivar  para hallar el desarrollo es porque las series de potencias son derivables e integrables en su intervalo de convergencia. Como no conoces el desarrollo de \( f(x)=ln(1+4x^2) \), pero sí el de su derivada, desarrollamos esta y volvemos a integrar término a término. Es un recurso muy frecuente para hallar desarrollos en serie.

Saludos,

[Masacroso]

Sólo decir que otra forma de hallar la serie de Maclaurin de tal función es sustituyendo \( z=4x^2 \) en la serie de Maclaurin de \( g(z):=\ln(1+z) \), conocida como serie de Mercator.

Spoiler

\( \displaystyle \ln(1+z)=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{z^k}k,\quad |z|<1 \)

[cerrar]

Por lo demás es como te han dicho arriba, reescribir \( \frac1{1+4x^2}=\frac1{1-(-4x^2)} \) como una serie geométrica.

[Fernando Revilla]

Sólo decir que otra forma de hallar la serie de Maclaurin de tal función es sustituyendo \( z=4x^2 \) en la serie de Maclaurin de \( g(z):=\ln(1+z) \), conocida como serie de Mercator.

Ciertamente es la forma más directa. Me parece enrevesada la forma de resolver el problema pues aplica la derivación de series a un caso muy particular, cuando en la demostración del Desarrollo en serie de Maclaurin de \( \log (1+x) \) y por el mismo "precio", tenemos cualquier desarrollo de \( \log (1+z) \).

[Ignacio Larrosa]

Sólo decir que otra forma de hallar la serie de Maclaurin de tal función es sustituyendo \( z=4x^2 \) en la serie de Maclaurin de \( g(z):=\ln(1+z) \), conocida como serie de Mercator.

Ciertamente es la forma más directa. Me parece enrevesada la forma de resolver el problema pues aplica la derivación de series a un caso muy particular, cuando en la demostración del Desarrollo en serie de Maclaurin de \( \log (1+x) \) y por el mismo "precio", tenemos cualquier desarrollo de \( \log (1+z) \).

Quizás el objetivo didáctico fuese mostrar las posibilidades de la derivación/integración de series de potencias, en un caso en que puede contrastarse con otros métodos.

Saludos,