[Ulysses S]

Hola, buenas noches. Tenía algunos problemas para comprender a fondo ciertos conceptos particulares de Análisis matemático. Si alguién pudiera ser tan amable de resolverme tales dudas se lo agradecería mucho. Las enuncio a continuación.


      1) Dada una función real de variable real \( f \), dado un intervalo abierto \( (a,b) \in{Dom(f)} \) ¿Que condiciones tiene que cumplir \( f \) para ser continua en \( (a,b) \)? Mi duda es que pasa en los extremos del intervalo, ya que es abierto. Por ejemplo, la funcion \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{x-2} \) ¿Es continua en el intervalo abierto \( (2,\infty) \)? ¿No tendría una discontinuidad de salto infinito en \( x=2 \)? Pero \( \displaystyle\lim_{x \to{}2^+}{f(x)}\neq{f(2)} \), en realidad \( f(2) \) no existe ya que \( 2\not\in{Dom(f)} \). Espero haber sido claro. Remarco que mi duda es la condición de continuidad en un intervalo abierto.


      2) ¿Por qué cuando invertimos los limites de integración en una integral definida, cambia de signo? Es decir ¿Por qué \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx =
 - \displaystyle\int_{b}^{a}f(x)\,dx \)


      3) En integrales impropias de segunda especie, tomando de ejemplo el caso donde se produce una asíntota vertical en el límite superior que denominaremos b, y siendo \( f \) una función continua en \( [a,b) \) y discontinua en b con \( \displaystyle\lim_{x \to{}b^-}{f(x)}=\infty \) entonces tenemos \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx = \displaystyle\lim_{t \to{}b^-}{\displaystyle\int_{a}^{t}f(x)\,dx} \). El integrando \( f(x) \) no esta acotado en \( [a,b] \) Pero... ¿Esta acotado en \( [a,b) \)? Sino no podria integrarse la función. No entiendo como podría estar acotado en \( [a,b) \) si en b hay una asíntota... ¿Dondé esta mi razonamiento erroneo?

Desde ya muchas gracias.

[ingmarov]

Hola uliperez

Bonitas preguntas, a ver estas respuestas

1.- EL intervalo abierto \( (2,\infty) \)   no incluye a x=2 sino todos los valores reales mayores a 2. La discontinuidad la ves cuando escoges un intervalo donde 2 no es un extremo del intervalo (pero esta dentro del intervalo). Es verdad que el límite de la función de tu ejemplo tiende a infinito para valores cercanos a x=2 por la derecha, pero no hay saltos. \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x}=+\infty \)   esta función tiende a infinito y no es discontinua, solo que la velocidad a la que crece no es igual a la velocidad a la que desciende de infinito la función de tu ejemplo.

2.- Veámos la igualdad utilizando F(x) como primitiva de f(x), mira

\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\\F(x)\Big|_a^b=-F(x)\Big|_b^a\\F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))\\F(b)-F(a)=F(b)-F(a) \)



3.- A ver  \( \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{x}=\displaystyle\lim_{t \to0}\displaystyle\int_{t}^{1}\dfrac{dx}{x}=\lim_{t \to0}\left(ln(x)\right)\Big|_t^1=\lim_{t \to0}\left(0-ln(t)\right)\to +\infty \)     

No está acotada


Saludos

[Masacroso]

Por lo que yo sé:

1) La función no es que sea discontinua en \( x=2 \) sino que no está definida en ese punto, por lo cual hablar de continuidad o discontinuidad en ese punto no tiene sentido. Sin embargo algunos matemáticos entienden que si una función no está definida en un punto entonces se dice que es discontinua en ese punto (no puedo justificar esto pero sé que esta postura existe).

2) Hasta donde yo sé la identidad \( \int_a^b f=-\int_b^a f \) es por definición convención. Esta convención permite hacer determinado tipo de álgebra con las integrales de Riemann. Así lo he visto en todos los libros de análisis que he leído.

3) Efectivamente la función no está acotada en \( [a,b) \), y es por eso que la integral de Riemann no existe en ese intervalo, sin embargo es posible que la integral impropia de Riemann sí exista.

CORREGIDO.

[Juan Pablo Sancho]

Para la integral \( \displaystyle \int_a^b f \ dx  \) puedes usar el cambio:

\(  u  = -x + a + b  \) para que te salga lo que pides.

Editado

También:

\( \displaystyle 0 = \int_a^a f(x) \ dx = \int_a^b f(x) \ dx + \int_b^a f(x) \ dx  \)

[Ignacio Larrosa]

Hola, buenas noches. Tenía algunos problemas para comprender a fondo ciertos conceptos particulares de Análisis matemático. Si alguién pudiera ser tan amable de resolverme tales dudas se lo agradecería mucho. Las enuncio a continuación.


      1) Dada una función real de variable real \( f \), dado un intervalo abierto \( (a,b) \in{Dom(f)} \) ¿Que condiciones tiene que cumplir \( f \) para ser continua en \( (a,b) \)? Mi duda es que pasa en los extremos del intervalo, ya que es abierto. Por ejemplo, la funcion \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{x-2} \) ¿Es continua en el intervalo abierto \( (2,\infty) \)? ¿No tendría una discontinuidad de salto infinito en \( x=2 \)? Pero \( \displaystyle\lim_{x \to{}2^+}{f(x)}\neq{f(2)} \), en realidad \( f(2) \) no existe ya que \( 2\not\in{Dom(f)} \). Espero haber sido claro. Remarco que mi duda es la condición de continuidad en un intervalo abierto.

Con independencia de que se pueda hablar de discontinuidades en puntos aislados en los que no está definida una función o no, en este caso x = 2 está fuera del intervalo en el que se afirma que f es continua. Para cualquier punto en \( (-2, \infty) \) puedes aplicar la definición \( \epsilon / \delta \) de continuidad sin problemas.

Es decir, para la continuidad en un intervalo abierto, es indiferente lo que ocurra en sus extremos.

      2) ¿Por qué cuando invertimos los limites de integración en una integral definida, cambia de signo? Es decir ¿Por qué \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx =
 - \displaystyle\int_{b}^{a}f(x)\,dx \)

La definición de integral de Riemann es:

\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{f(x_i)\displaystyle\frac{b-a}{n}}}, \;x_i\in{}\left[a+(i-1)\displaystyle\frac{b-a}{n}, a + i\displaystyle\frac{b-a}{n}\right) \)

Se pueden formular definiciones más generales, con intervalos de distintas longitudes, pero con esta nos llega. Claramente si intercambias a y b el signo de cada sumando, por lo que cambia el de toda la sumatoria y el del límite.

      3) En integrales impropias de segunda especie, tomando de ejemplo el caso donde se produce una asíntota vertical en el límite superior que denominaremos b, y siendo \( f \) una función continua en \( [a,b) \) y discontinua en b con \( \displaystyle\lim_{x \to{}b^-}{f(x)}=\infty \) entonces tenemos \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx = \displaystyle\lim_{t \to{}b^-}{\displaystyle\int_{a}^{t}f(x)\,dx} \). El integrando \( f(x) \) no esta acotado en \( [a,b] \) Pero... ¿Esta acotado en \( [a,b) \)? Sino no podria integrarse la función. No entiendo como podría estar acotado en \( [a,b) \) si en b hay una asíntota... ¿Dondé esta mi razonamiento erroneo?

Pero está acotado en \( [a, t],\textrm{ con }t\in{}[a, b) \), que es todo lo que se necesita.

Saludos,

[Ulysses S]

Gracias a todos por sus respuestas.

ingmarov, claro, es decir que no importa lo que pase en los extremos mientras la condiciones de continuidad se cumplan en cada punto del intervalo.
Las otras dos preguntas también me quedaron claras. Gracias.

Masacroso, gracias por la respuesta 3, mi duda era si la integral definida exisitía.

Ignacio Larrosa, gracias por las respuestas, me quedaron muy claras. En especial la primera y la última. No entendía muy bien el tema de la acotación en el extremo. Gracias.