[Retseilop]

Hola, tengo el siguiente problema.

Se considera la forma cuadrática:

\(  x^2 +y^2 +axy +ayz  \) en \(  R^3 \) , con \(  a ∈ R. \)

Me piden clasificar la forma cuadrática según el valor de a (osea, si es definida positiva, indefinida, etc... dependiendo del valor de a)


Ya me he encontrado con varios problemas de este estilo y siempre termino ahogado con las cuentas, quisiera saber si hay algún otro método para hacer este tipo de problemas, que no sea hallando el polinomio característico. 

Hallando polinomio caracterisitico de la matriz que resulta de la forma cuadrática obtengo:


\( a^2(2λ - 1) + (-λ)(1-λ)^2  \)

Poder obtener restricciones de a a partir de esa expresion me resulta complicado   


Saludos.

[ingmarov]

Hola

Mira en el sitio del maestro fernando Revilla hay un resumen teórico, y también hay problemas resueltos

http://fernandorevilla.es/blog/2014/07/28/clasificacion-de-formas-cuadraticas/


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Se considera la forma cuadrática:

\(  x^2 +y^2 +axy +ayz  \) en \(  R^3 \) , con \(  a ∈ R. \)

Me piden clasificar la forma cuadrática según el valor de a (osea, si es definida positiva, indefinida, etc... dependiendo del valor de a)

Ya me he encontrado con varios problemas de este estilo y siempre termino ahogado con las cuentas, quisiera saber si hay algún otro método para hacer este tipo de problemas, que no sea hallando el polinomio característico. 

Hallando polinomio caracterisitico de la matriz que resulta de la forma cuadrática obtengo:

Lee los apuntes de Fernando, pero como resumen y recomendación: no uses el polinomio característico para clasificar, porque te obliga a hallar las raíces de un polinomio, lo cual dependiendo del grado puede ser trabajoso o inalcanzable explícitamente. Por el contrario la forma rápida de clasificar una forma cuadrática es diagonalizar por congruencia su matriz asociada.


Saludos.

[Fernando Revilla]

Por el contrario la forma rápida de clasificar una forma cuadrática es diagonalizar por congruencia su matriz asociada.

Aunque estoy de acuerdo (en general), matizaría que sería adecuado analizar previamente si la matriz simétrica correspondiente está "preparada" para hallar de forma efectiva y rápida sus valores propios. Por ejemplo, para la forma cuadrática

          \( Q(x)=x^T\begin{bmatrix}{1+a}&{4}&{4}\\{4}&{1+a}&{4}\\{4}&{4}&{1+a}\end{bmatrix}x \)

dada aquí, es más rápido calcular una diagonal de \( Q \) por valores propios.

[Retseilop]

Hola, gracias por responder. 

Haciendo cuentas llegue a estos resultados:

La diagonal me quedo de la forma: \(  ( 1 ,     A^2 - 1    , -A^2 (A^2 - 1) )  \)

de donde pude ver que:

Si \(  A\in(-\infty , -1)   \) entonces los signos quedan  \(  (+ , + , -)   \) por lo que es indefinida.

Si \(  A\in(-1 , 0)   \) entonces los signos quedan  \(  (+ , - , +)   \) por lo que es indefinida.

Si \(  A\in(0 , 1)   \) entonces los signos quedan  \(  (+ , - , +)   \) por lo que es indefinida.

Si \(  A\in( 1 , +\infty)   \) entonces los signos quedan  \(  (+ , + , -)   \) por lo que es indefinida. 


(A partir de aca empiezan los problemas )

Si \(  A=1  \)  entonces los signos quedan  \(  (+ , 0 , 0)   \) seria semidefinida positiva

Si \(  A=- 1  \) entonces los signos quedan  \(  (+ , 0 , 0)   \) seria semidefinida positiva

Si \(  A=0  \) entonces los signos quedan  \(  (+ , - , 0)   \) seria Indefinida


La solución del problema me dice que \(  A \)  es  Indefinida \(   ∀ A  \ne 0. \) (no concuerda con lo que me dio)


En el ejercicio del ejemplo del link que pasaron, al la hora de resolverlo hace una restricción para \(  A  \ne \pm 1 \) que no entiendo por que la hace, supongo que ahí esta mi error en este ejercicio.


En vez de sustituir A=0 en la diagonal hay que hacerlo en la matriz y luego diagonalizar, pero no entiendo por que es así.



Por lo que supongo, simplemente con las raíces  hay que hacer ese procesos de sustituir en la matriz y no en la diagonal (?)

Es claro que si \(  A=0  \) en la matriz, la diagonal queda \( (1,1,0) \) y \( A \) seria semidefinida positiva.
 
Saludos!

[Fernando Revilla]

Veamos, la forma cuadrática es \( q(x,y,z)=x^2 +y^2 +axy +ayz \), o bien

          \( q(x,y,z)=\begin{bmatrix}x,y,z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}& {a/2}& {0}\\{a/2}& {1}& {a/2}\\{0}& {a/2}& {0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} \)

Entonces,

          \( \begin{bmatrix}{1}& {a/2}& {0}\\{a/2}& {1}& {a/2}\\{0}& {a/2}& {0}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{F_2-(a/2)F_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}& {a/2}& {0}\\{0}& {1-a^2/4}& {a/2}\\{0}& {a/2}& {0}\end{bmatrix} \)

           \( \begin{matrix}\sim\\{C_2-(a/2)C_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}& {0}& {0}\\{0}& {1-a^2/4}& {a/2}\\{0}& {a/2}& {0}\end{bmatrix}.\qquad (*) \)

En el siguiente paso, haz \( (1-a^2/4)F_3-(a/2)F_2 \) que será válido para \( 1-a^2/4\neq 0 \) es decir, para \( a\neq \pm 2 \).
Obtendrás la diagonal

          \( D=\text{diag }(1,1-a^2/4, -a^2/4) \) si \( a\ne \pm 2 \),

que es indefinida si \( a\ne 0 \). Para \( a=\pm 2 \), tendrás que empezar a partir del paso \( (*) \).

P.D. Si efectuas el paso \( \alpha F_i+\beta F_j \), éste no es válido si \( \alpha=0 \).

[Retseilop]

Ufff me olvide del dos que divide cuando forme la matriz, un error estúpido 

Lo demás quedo todo claro, GRACIAS!