[Juan Sánchez]

Quiero hallar el radio de convergencia y la suma de la serie de potencias \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{nx^{4n+2}} \). Usando el criterio de comparación, es decir, calculando \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{}\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n} \), si este límite es \( <1 \), \( a_n \) converge, y si el límite es \( >1 \), \( a_n \) diverge. Este límite me da \( x^6 \). Por tanto si el radio de convergencia será \( 1 \). Es correcto?

¿Cómo se calcula la suma?

[delmar]

Hola

Sí, el radio de convergencia es 1.  Y para \( x=1 \) diverge, es evidente.

Una forma de hallar la suma es partir de la identidad :

\( \displaystyle\frac{1-y^{k+1}}{1-y}=\displaystyle\sum_{n=0}^{k}y^n \)

Derivando respecto a y y agrupando  :

\( \displaystyle\frac{-ky^k}{1-y}-\displaystyle\frac{y^k}{(1-y)^2}+\displaystyle\frac{1}{(1-y)^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^k{ny^{n-1}} \)

Haciendo \( y=x^4 \)

\( \displaystyle\frac{-kx^{4k}}{1-x^4}-\displaystyle\frac{x^{4k}}{(1-x^4)^2}+\displaystyle\frac{1}{(1-x^4)^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^k{nx^{4n-4}} \)

Multiplicando por \( x^6 \)

\( x^6 \ (\displaystyle\frac{-kx^{4k}}{1-x^4}-\displaystyle\frac{x^{4k}}{(1-x^4)^2}+\displaystyle\frac{1}{(1-x^4)^2})=\displaystyle\sum_{n=0}^k{nx^{4n+2}} \)


Haciendo tender al límite cuando k tiende al infinito se tiene la suma.

Saludos

[Juan Sánchez]

Gracias por tu respuesta creo que lo entendí todo. Entonces, si \( -1<x<1 \), es decir, si \( x \) está dentro del radio de convergencia, la suma vale\( \displaystyle\frac{1}{(1-x^4)^2} \). Si no es así, la suma valdrá infinito. De este resultado intuyo que para este tipo de problemas, las sumas nunca valdrán infinito dentro del radio de convergencia.

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Gracias por tu respuesta creo que lo entendí todo. Entonces, si \( -1<x<1 \), es decir, si \( x \) está dentro del radio de convergencia, la suma vale\( \displaystyle\frac{1}{(1-x^4)^2} \). Si no es así, la suma valdrá infinito. De este resultado intuyo que para este tipo de problemas, las sumas nunca valdrán infinito dentro del radio de convergencia.

Saludos

La suma realmente es \( \displaystyle\frac{x^6}{(1-x^4)^2} \)

Y efectivamente, dentro del radio de convergencia, la serie converge a un valor finito. Fuera diverge y para el radio de convergencia directamente no se sabe que es lo que ocurre, hay que estudiarlo directamente. En este caso, tanto para \( x = 1 \) como para \( x = -1 \), la serie queda \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n} \) y es claramente divergente.

[Juan Sánchez]

Ups, olvidé el \( x^6 \). Me quedó todo muy claro, gracias.