[adrs]

Hola, no tengo ni idea como encarar este problema. Agradezco cualquier ayuda. saludos!

Sea \( V \) un espacio vectorial y \( T : V → V \) operador lineal tal que \( dim (N(T)) = 1  \).

Se supone que existe S subespacio invariante bajo T tal que \( V = N(T)⊕S \)
y \( {v_1, v_2, v_3} \) base de S tal que:

\( T(v_1) = 2v_1 + v_2 + 2v_3  \)

\( T(v_2) = −v_1 − 2v_3 \)

\( T(v_3) = 2v_1 + 2v_2 + v_3 \)

Entonces existe una base B de V tal que si
\( A = B((T))B \) su diagonal es: (? ? ? ?) 

[mathtruco]

Hola adrs.

Entiendo que S (con y sin negrita) es un subespacio, B (con y sin negrita) es una base (es decir, B es un conjunto de vectores) y T (con y sin negrita) es una aplicación lineal. Entonces,

    ¿qué significa esto: \( B((T))B \) ?

Parece denotar una multiplicación de matrices, pero tenemos un conjunto B y una función T, así que no sé cómo interpretar la expresión.

[adrs]

Hola adrs.

Entiendo que S (con y sin negrita) es un subespacio, B (con y sin negrita) es una base (es decir, B es un conjunto de vectores) y T (con y sin negrita) es una aplicación lineal. Entonces,

    ¿qué significa esto: \( B((T))B \) ?

Parece denotar una multiplicación de matrices, pero tenemos un conjunto B y una función T, así que no sé cómo interpretar la expresión.

Esto: \( B((T))B \) es la matriz asociada a \( T \) en la base \( B \)

lo demas es correcto, Saludos!

[mathtruco]

Entonces existe una base B de V tal que si
\( A = B((T))B \) su diagonal es: (? ? ? ?) 

¿Hay que probar que su diagonal es igual a qué? No me queda claro.

[adrs]

hay que encontrar los 4 valores que integran su diagonal.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, no tengo ni idea como encarar este problema. Agradezco cualquier ayuda. saludos!

Sea \( V \) un espacio vectorial y \( T : V → V \) operador lineal tal que \( dim (N(T)) = 1  \).

Se supone que existe S subespacio invariante bajo T tal que \( V = N(T)⊕S \)
y \( {v_1, v_2, v_3} \) base de S tal que:

\( T(v_1) = 2v_1 + v_2 + 2v_3  \)

\( T(v_2) = −v_1 − 2v_3 \)

\( T(v_3) = 2v_1 + 2v_2 + v_3 \)

Entonces existe una base B de V tal que si
\( A = B((T))B \) su diagonal es: (? ? ? ?) 

Si tomas \( v_0 \) un generador del núcleo entonces \(  B=\{v_0,v_1,v_2,v_3\} \) es una base de \( V \) porque \( V=Nu(T)\oplus S \) y además \( T(v_0)=0. \)

Entonces por definición de matriz asociada a un endomorfismo respecto a una base:

\( _B(T)_B=\begin{pmatrix}0&0&\phantom{-}0&0\\ 0 &2 & -1 &2\\ 0&1&\phantom{-}0& 2\\0 &2 &-2 & 1\\\end{pmatrix} \)

(sus columnas son las coordenadas de los vectores \( T(v_i) \) respecto a la base \( B \)).

Los elementos de su diagonal son los que ves.

Evidentemente uno podría hacer cambios de base y obtener otros resultados.

Saludos.

P.D. Cosa distinta sería que exigiese que \( A \) fuese una matriz diagonal. Pero puede verse que el endomorfismo no es diagonalizable.

[adrs]

El resultado al que usted llego ya lo había planteado, pero como no es la respuesta lo descarte. Según las soluciones el el resultado es (0,1,1,1)

El problema tampoco me dice de una base en la cual hacer el cambio de base, así que es bastante aleatorio supongo.

Puedo adjuntar una foto del problema si es necesario, por si estoy malinterpretando algo de la letra.

[Luis Fuentes]

Hola

El resultado al que usted llego ya lo había planteado, pero como no es la respuesta lo descarte. Según las soluciones el el resultado es (0,1,1,1)

\( (0,1,1,1) \) son los autovalores del endomorfismo, es decir, el \( 0 \) con multiplicidad algebraica \( 1 \) y el \( 1 \) con multiplicidad algebraica \( 3 \). Puedes comprobarlo calculando el polinomio característico de la matriz que vimos antes.

Si éste fuese diagonalizable, entonces existiría una base en la cual la matriz asociada es diagonal (el enunciado tal como lo has escrito, no dice que \( A \) tenga que ser diagonal).

¡Pero aun encima el endomorfismo NO es diagonalizable!. ¡No existe ninguna base en la cual la matriz asociada es diagonal!. El motivo es que la multiplicidad geométrica de autovalor 1, es decir, \( 4-rango(T-Id) \), no da igual a \( 3 \), no coincide con la algebraica.

Así que el resultado \( (0,1,1,1) \) que te proponen no tiene demasiado sentido.

Saludos.

[adrs]

hola. habrá sido un error en el examen, muchas gracias, entendí todo. saludos

[mario]

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